22. Постройте график функции y = (x^4 - 13x^2 + 36) / ((x - 3)(x + 2)). Определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Заданная функция: \( y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)} \).

1. Разложим числитель на множители.

Пусть \( t = x^2 \). Тогда \( t^2 - 13t + 36 = 0 \).

Найдём корни квадратного уравнения:

\( D = (-13)^2 - 4 · 1 · 36 = 169 - 144 = 25 \)

\( t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \)

\( t_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \)

Значит, \( x^2 = 9 \) или \( x^2 = 4 \).

Отсюда \( x = ± 3 \) или \( x = ± 2 \).

Таким образом, \( x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2) \).

2. Упростим функцию.

\( y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} \)

При \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ -2 \), функция упрощается до:

\( y = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6 \)

Это парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{1}{2} \), \( y = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{1}{4} - 6 = -6.25 \).

3. Учтём ограничения.

Функция не определена в точках \( x = 3 \) и \( x = -2 \).

Найдем значения \( y \) в этих точках для параболы \( y = x^2 + x - 6 \):

• При \( x = 3 \): \( y = 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \). Таким образом, на графике будет выколотая точка \( (3, 6) \).
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 \). Таким образом, на графике будет выколотая точка \( (-2, -4) \).

4. Построим график.

График представляет собой параболу \( y = x^2 + x - 6 \) с двумя выколотыми точками \( (3, 6) \) и \( (-2, -4) \).

5. Определим значения c, при которых прямая \( y = c \) имеет ровно одну общую точку с графиком.

Прямая \( y = c \) является горизонтальной линией. Чтобы она имела ровно одну общую точку с графиком, она должна проходить:

• Через вершину параболы: \( y = -6.25 \).
• Через одну из выколотых точек, если эта линия не пересекает параболу больше нигде.

Рассмотрим значения \( y \) выколотых точек: \( 6 \) и \( -4 \).

Линия \( y = 6 \) проходит через выколотую точку \( (3, 6) \). Поскольку \( x=3 \) является одним из корней числителя \( x^4 - 13x^2 + 36 \) и знаменателя \( (x-3)(x+2) \), то при \( x=3 \) функция имеет устранимый разрыв. Других точек с \( y=6 \) на графике параболы \( y = x^2 + x - 6 \) нет, так как \( x^2 + x - 6 = 6 \) → \( x^2 + x - 12 = 0 \), \( D = 1 - 4(1)(-12) = 49 \), \( x = \frac{-1 ± 7}{2} \), \( x_1 = 3 \) (выколотая точка), \( x_2 = -4 \). Таким образом, \( y=6 \) имеет одну общую точку \( (-4, 6) \) с графиком (с учётом выколотой точки \( (3,6) \)).

Линия \( y = -4 \) проходит через выколотую точку \( (-2, -4) \). Поскольку \( x=-2 \) также является корнем числителя и знаменателя, функция имеет устранимый разрыв. Других точек с \( y=-4 \) на графике параболы \( y = x^2 + x - 6 \) нет, так как \( x^2 + x - 6 = -4 \) → \( x^2 + x - 2 = 0 \), \( D = 1 - 4(1)(-2) = 9 \), \( x = \frac{-1 ± 3}{2} \), \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2 \) (выколотая точка). Таким образом, \( y=-4 \) имеет одну общую точку \( (1, -4) \) с графиком (с учётом выколотой точки \( (-2,-4) \)).

Таким образом, прямая \( y=c \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда \( c \) равно значению в вершине параболы или значению одной из выколотых точек.

Значения \( c \): \( -6.25 \), \( 6 \), \( -4 \).

Ответ: c = -6.25, c = 6, c = -4.