22. Постройте график функции y = (x⁴ - 5x² + 4) / ((x-2)(x+1)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос:

Фото задания: 22. Постройте график функции y = (x⁴ - 5x² + 4) / ((x-2)(x+1)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y=c имеет…

22. Постройте график функции y = (x⁴ - 5x² + 4) / ((x-2)(x+1)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Задание 22. Построение графика и анализ параметра

1. Преобразуем функцию:

Числитель разложим на множители. Заметим, что $ x^4 - 5x^2 + 4 $ — это квадратное уравнение относительно $ x^2 $. Пусть $ z = x^2 $, тогда $ z^2 - 5z + 4 = 0 $. Корни этого уравнения $ z_1 = 1, z_2 = 4 $.
Значит, $ x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $.

Знаменатель: $ (x-2)(x+1) $.

Теперь функция выглядит так:

$$ y = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} $$

2. Сократим дробь и определим точки разрыва:

При $ x \neq 2 $ и $ x \neq -1 $ функция упрощается:

$$ y = (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 $$

Это парабола. Точки $ x = 2 $ и $ x = -1 $ являются точками разрыва, в которых будут «выколотые» точки на графике.

3. Найдем значения $ y $ в точках разрыва:

При $ x = 2 $: $ y = (2-1)(2+2) = 1 \times 4 = 4 $. Точка разрыва: $ (2, 4) $.
При $ x = -1 $: $ y = (-1-1)(-1+2) = -2 \times 1 = -2 $. Точка разрыва: $ (-1, -2) $.

4. Построим график функции:

График — это парабола $ y = x^2 + x - 2 $ с выколотыми точками $ (2, 4) $ и $ (-1, -2) $.

Вершина параболы находится в точке $ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(1)} = -0.5 $.

Значение $ y $ в вершине: $ y_{верш} = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25 $.

Вершина параболы: $ (-0.5, -2.25) $.

5. Определим значения параметра $ c $, при которых прямая $ y = c $ имеет с графиком ровно одну общую точку:

Прямая $ y = c $ — это горизонтальная линия. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

Когда она проходит через вершину параболы, но эта точка является выколотой. Однако, вершина $ (-0.5, -2.25) $ не является выколотой точкой.
Когда она проходит через одну из выколотых точек.

Рассмотрим значения $ y $ в выколотых точках:

$ y = 4 $ (точка $ (2, 4) $ выколота)
$ y = -2 $ (точка $ (-1, -2) $ выколота)

Если $ c = 4 $, прямая $ y = 4 $ пройдёт через выколотую точку $ (2, 4) $, но пересечёт параболу ещё в одной точке (симметричной относительно вершины). То есть будет две точки пересечения. Ошибка в рассуждении.

Корректировка:

Прямая $ y=c $ имеет ровно одну общую точку с графиком, если:

a) Она проходит через вершину параболы, и эта точка не выколота. $ c = -2.25 $. В этом случае, одна точка пересечения — вершина.
b) Она проходит через одну из выколотых точек, и эта точка является единственной точкой пересечения.

Давайте ещё раз проанализируем выколотые точки:

$ y = 4 $: Прямая $ y = 4 $ пересекает параболу $ y = x^2 + x - 2 $ в двух точках. Одна из них — выколотая $ (2, 4) $. Вторая точка: $ x^2 + x - 2 = 4 $ => $ x^2 + x - 6 = 0 $ => $ (x+3)(x-2) = 0 $. Корни $ x = 2 $ (выколотая) и $ x = -3 $. Значит, при $ c = 4 $ будет одна точка пересечения (с $ x = -3 $).
$ y = -2 $: Прямая $ y = -2 $ пересекает параболу $ y = x^2 + x - 2 $ в двух точках. Одна из них — выколотая $ (-1, -2) $. Вторая точка: $ x^2 + x - 2 = -2 $ => $ x^2 + x = 0 $ => $ x(x+1) = 0 $. Корни $ x = 0 $ и $ x = -1 $ (выколотая). Значит, при $ c = -2 $ будет одна точка пересечения (с $ x = 0 $).

Итого, значения $ c $, при которых прямая $ y = c $ имеет ровно одну общую точку с графиком:

$ c = -2.25 $ (прямая проходит через вершину параболы).
$ c = 4 $ (прямая проходит через выколотую точку $ (2,4) $ и пересекает параболу в другой точке $ (-3,4) $).
$ c = -2 $ (прямая проходит через выколотую точку $ (-1,-2) $ и пересекает параболу в другой точке $ (0,-2) $).

Ответ: $ c = -2.25, c = -2, c = 4 $