22. Постройте график функции y = { x²+6x , при x≥-5 ; 20/x , при x<-5 }. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

1. Рассмотрим первую часть функции: $$y = x^2 + 6x$$ при $$x \ge -5$$. Это парабола.
• Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -3$$.
• $$y_в = (-3)^2 + 6(-3) = 9 - 18 = -9$$.
• Вершина параболы находится в точке $$(-3; -9)$$.
• При $$x = -5$$, $$y = (-5)^2 + 6(-5) = 25 - 30 = -5$$. Начинаем строить с точки $$(-5; -5)$$.
2. Рассмотрим вторую часть функции: $$y = \frac{20}{x}$$ при $$x < -5$$. Это гипербола.
• При $$x = -5$$, $$y = \frac{20}{-5} = -4$$. Обратите внимание, что эта точка не включается в график, так как условие $$x < -5$$.
• При $$x = -10$$, $$y = \frac{20}{-10} = -2$$.
3. Построим график.
4. Проанализируем, сколько точек пересечения может иметь горизонтальная прямая $$y = m$$ с данным графиком.
• Если $$m > -4$$, прямая пересекает гиперболу один раз (в левой ветви).
• Если $$m = -4$$, прямая пересекает гиперболу один раз (точка $$(-5; -4)$$ не включена, но есть другая точка на гиперболе).
• Если $$-9 < m < -4$$, прямая пересекает гиперболу один раз и параболу один раз. Итого две точки.
• Если $$m = -9$$, прямая пересекает параболу в вершине (одна точка).
• Если $$m < -9$$, прямая не пересекает график.

Одна общая точка:

• $$m > -4$$ (пересечение с гиперболой).
• $$m = -9$$ (пересечение с вершиной параболы).

Две общие точки:

• $$-9 < m < -4$$ (пересечение с гиперболой и параболой).

Объединяя условия для одной или двух точек: $$m > -9$$ и $$m
e -4$$.

Ответ: $$m > -9$$ и $$m
e -4$$.