22. Постройте график функции y = x² - 9x - 2|x - 4| + 20. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Сначала раскроем модуль \( |x - 4| \).

Случай 1: \( x - 4 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ 4 \). В этом случае \( |x - 4| = x - 4 \).

Функция принимает вид: \( y = x^2 - 9x - 2(x - 4) + 20 = x^2 - 9x - 2x + 8 + 20 = x^2 - 11x + 28 \).

Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = \frac{-(-11)}{2 · 1} = \frac{11}{2} = 5.5 \). Поскольку \( 5.5 ≥ 4 \), эта часть вершины относится к данному случаю.

Значение функции в вершине: \( y = (5.5)^2 - 11 · 5.5 + 28 = 30.25 - 60.5 + 28 = -2.25 \).

Случай 2: \( x - 4 < 0 \), то есть \( x < 4 \). В этом случае \( |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x \).

Функция принимает вид: \( y = x^2 - 9x - 2(4 - x) + 20 = x^2 - 9x - 8 + 2x + 20 = x^2 - 7x + 12 \).

Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = \frac{-(-7)}{2 · 1} = \frac{7}{2} = 3.5 \). Поскольку \( 3.5 < 4 \), эта часть вершины относится к данному случаю.

Значение функции в вершине: \( y = (3.5)^2 - 7 · 3.5 + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 \).

График функции состоит из двух частей парабол.

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки. Это произойдет, когда прямая \( y = m \) проходит через точки, где одна из частей параболы заканчивается, и через вершину другой части параболы.

Точка, где меняется определение функции: \( x = 4 \).

Найдем значение функции в этой точке для обеих частей:

• Для \( y = x^2 - 11x + 28 \) при \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 11 · 4 + 28 = 16 - 44 + 28 = 0 \).
• Для \( y = x^2 - 7x + 12 \) при \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 7 · 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 \).

Итак, точка \( (4, 0) \) является общей для обеих частей параболы.

Чтобы получить ровно три точки пересечения, прямая \( y = m \) должна пройти через:

1. Вершину параболы \( y = x^2 - 7x + 12 \), которая находится в \( (3.5, -0.25) \). В этом случае \( m = -0.25 \). Прямая \( y = -0.25 \) будет пересекать график в вершине этой части и в двух точках другой части параболы (одна из них будет \( (4,0) \), другая — симметричная ей).
2. Точку \( (4, 0) \), которая является стыком двух частей. В этом случае \( m = 0 \). Прямая \( y = 0 \) пересечет график в точке \( (4, 0) \), а также в двух точках части \( y = x^2 - 7x + 12 \) (корни уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) — это \( x=3 \) и \( x=4 \)), и в двух точках части \( y = x^2 - 11x + 28 \) (корни уравнения \( x^2 - 11x + 28 = 0 \) — это \( x=4 \) и \( x=7 \)). Таким образом, будет 4 точки пересечения: \( (3,0), (4,0), (4,0), (7,0) \). Мы посчитали точку \( (4,0) \) дважды. Получаем 3 уникальные точки: \( (3,0), (4,0), (7,0) \).
3. Вершину параболы \( y = x^2 - 11x + 28 \), которая находится в \( (5.5, -2.25) \). В этом случае \( m = -2.25 \). Прямая \( y = -2.25 \) будет пересекать график в вершине этой части и в двух точках другой части параболы.

Таким образом, три общие точки будут при значениях \( m \), равных значениям вершин двух частей параболы и значению функции в точке стыка \( x = 4 \).

Значения \( m \):

• \( m = -0.25 \) (вершина первой параболы)
• \( m = -2.25 \) (вершина второй параболы)
• \( m = 0 \) (точка стыка \( x=4 \) и корни первой параболы)

Ответ: m = -0.25, m = -2.25, m = 0.