22 Постройте график функции y = |x(x-1)|-3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Для начала построим график функции \( y = |x(x-1)| - 3x \).

Рассмотрим два случая для выражения под модулем:

1. Случай 1: \( x(x-1) \ge 0 \). Это верно при \( x \le 0 \) или \( x \ge 1 \). В этом случае \( |x(x-1)| = x(x-1) \). Функция принимает вид: \( y = x(x-1) - 3x = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x \).
2. Случай 2: \( x(x-1) < 0 \). Это верно при \( 0 < x < 1 \). В этом случае \( |x(x-1)| = -x(x-1) \). Функция принимает вид: \( y = -x(x-1) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x \).

Теперь построим график, учитывая эти случаи:

• Для \( x \le 0 \) и \( x \ge 1 \) (график \( y = x^2 - 4x \)): Это парабола с ветвями вверх. Вершина находится в точке \( x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \). При \( x=2 \), \( y = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \). Точки пересечения с осью x: \( x(x-4) = 0 \) => \( x=0 \) или \( x=4 \).
• Для \( 0 < x < 1 \) (график \( y = -x^2 - 2x \)): Это парабола с ветвями вниз. Вершина находится в точке \( x = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = -1 \). Однако, этот случай рассматривается только для \( 0 < x < 1 \), поэтому вершина параболы \( y = -x^2 - 2x \) не попадает в этот интервал.

Построим график, соединив полученные участки:

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

На графике видно, что:

• При \( m < -4 \) прямая \( y=m \) не пересекает график (0 точек).
• При \( m = -4 \) прямая \( y=m \) касается графика в вершине параболы \( y = x^2 - 4x \) при \( x=2 \) (1 точка).
• При \( -4 < m < -3 \) прямая \( y=m \) пересекает график в двух точках (одна точка на ветви \( y = x^2 - 4x \), другая на ветви \( y = -x^2 - 2x \)).
• При \( m = -3 \) прямая \( y=m \) пересекает график в трех точках (две на \( y = x^2 - 4x \) при \( x=0 \) и \( x=4 \), и одна на \( y = -x^2 - 2x \) при \( x ≈ -0.73 \) и \( x ≈ 0.73 \) - тут надо проверить, но это одна точка пересечения в интервале (0,1) ). Проверим пересечение \( y=-x^2-2x \) с \( y=-3 \): \( -x^2 - 2x = -3 \) => \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) => \( (x+3)(x-1)=0 \) => \( x=-3 \) или \( x=1 \). В интервале \( 0 < x < 1 \) нет точек.
• Давайте пересчитаем значение при \(x=0.5\) для \( y = -x^2 - 2x \). \( y = -(0.5)^2 - 2(0.5) = -0.25 - 1 = -1.25 \).
• Пересчитаем значение при \(x=0\) для \( y = x^2 - 4x \). \( y = 0 \).
• Пересчитаем значение при \(x=1\) для \( y = x^2 - 4x \). \( y = 1^2 - 4(1) = -3 \).
• Пересчитаем значение при \(x=1\) для \( y = -x^2 - 2x \). \( y = -(1)^2 - 2(1) = -1 - 2 = -3 \).
• Значения на границах интервалов:
• При \( x=0 \) для \( y = x^2-4x \) получаем \( y=0 \).
• При \( x=0 \) для \( y = -x^2-2x \) получаем \( y=0 \).
• При \( x=1 \) для \( y = x^2-4x \) получаем \( y = -3 \).
• При \( x=1 \) для \( y = -x^2-2x \) получаем \( y = -3 \).
• Теперь перестроим график с правильными значениями.

Проанализируем количество точек пересечения прямой \( y = m \) с графиком:

• \( m < -4 \): 0 точек.
• \( m = -4 \): 1 точка (вершина параболы \( y = x^2 - 4x \) при \( x=2 \)).
• \( -4 < m < -3 \): 2 точки (одна на \( y = x^2 - 4x \) для \( x > 2 \), другая на \( y = -x^2 - 2x \) для \( 0 < x < 1 \)).
• \( m = -3 \): 2 точки (одна на \( y = x^2 - 4x \) при \( x=1 \), другая на \( y = -x^2 - 2x \) при \( x=1 \) — но это одна точка, так как интервал \( 0 < x < 1 \) не включает \( x=1 \), следовательно, точка \( (1, -3) \) принадлежит только \( y = x^2 - 4x \)).
• Ищем пересечение \( y = -x^2 - 2x \) и \( y = -3 \) в интервале \( 0 < x < 1 \). \( -x^2 - 2x = -3 \) => \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) => \( (x+3)(x-1) = 0 \). Корни \( x = -3 \) и \( x = 1 \). Ни один из корней не попадает в интервал \( 0 < x < 1 \). Значит, при \( m=-3 \) есть две точки пересечения: \( (1, -3) \) и \( (4, 0) \).
• \( -3 < m < 0 \): 3 точки (две на \( y = x^2 - 4x \) и одна на \( y = -x^2 - 2x \)).
• \( m = 0 \): 2 точки ( \( x=0 \) и \( x=4 \) для \( y = x^2 - 4x \)).
• \( m > 0 \): 1 точка (на \( y = x^2 - 4x \) для \( x > 4 \)).

Итак, прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки с графиком, когда \( m \) находится в интервале \( (-4, -3) \) или \( m = 0 \) или \( m > 0 \).

Исходя из анализа графика:

• Две точки пересечения возникают, когда \( m \) находится между минимумом (который равен -4) и значением в точке \( x=1 \) (которое равно -3). Это интервал \( (-4, -3) \).
• Две точки пересечения также возникают, когда \( m = 0 \) (точки \( (0,0) \) и \( (4,0) \)).
• Для \( m > 0 \) прямая \( y=m \) пересекает только одну ветвь параболы \( y = x^2-4x \) (ту, что для \( x > 4 \)).

Таким образом, ровно две общие точки получаются при \( m ∈ (-4, -3) \) или \( m = 0 \).

Проверим значение \( m=0 \). \( y=0 \). \( |x(x-1)| - 3x = 0 \).

Если \( x ≤ 0 \) или \( x ≥ 1 \): \( x(x-1) - 3x = 0 \) => \( x^2 - x - 3x = 0 \) => \( x^2 - 4x = 0 \) => \( x(x-4) = 0 \) => \( x=0 \) или \( x=4 \). Обе точки подходят.

Итак, при \( m=0 \) есть ровно две точки. Диапазон \( (-4, -3) \) также дает две точки. Проверим, что происходит между \( -3 \) и \( 0 \).

При \( m = -1 \): \( y = -1 \).

Случай 1: \( x^2 - 4x = -1 \) => \( x^2 - 4x + 1 = 0 \). \( D = 16 - 4 = 12 \). \( x = \frac{4 ± √{12}}{2} = 2 ± √{3} \). \( 2 - √{3} ≈ 0.27 \) (не попадает в \( x ≤ 0 \) или \( x ≥ 1 \)). \( 2 + √{3} ≈ 3.73 \) (попадает). Одна точка.

Случай 2: \( -x^2 - 2x = -1 \) => \( x^2 + 2x - 1 = 0 \). \( D = 4 + 4 = 8 \). \( x = \frac{-2 ± √{8}}{2} = -1 ± √{2} \). \( -1 + √{2} ≈ 0.41 \) (попадает в \( 0 < x < 1 \)). \( -1 - √{2} ≈ -2.41 \) (не попадает). Одна точка.

Таким образом, при \( m = -1 \) есть две точки пересечения.

Значит, интервал \( (-3, 0) \) дает 3 точки.

Вернемся к анализу графика.

Минимум функции \( y = x^2 - 4x \) при \( x=2 \) равен \( -4 \). \( y(0)=0 \), \( y(1)=-3 \).

Для \( y = -x^2 - 2x \) в интервале \( (0,1) \): \( y(0)=0 \) (предел), \( y(1)=-3 \) (предел). Функция убывает на этом интервале. Максимум в \( x → 0 \) равен 0, минимум в \( x → 1 \) равен -3.

График имеет вид:

• Участок параболы \( y=x^2-4x \) для \( x ≤ 0 \) (от \( (0,0) \) вверх).
• Участок параболы \( y=-x^2-2x \) для \( 0 < x < 1 \) (от \( (0,0) \) до \( (1,-3) \)).
• Участок параболы \( y=x^2-4x \) для \( x ≥ 1 \) (от \( (1,-3) \) через \( (2,-4) \) до \( (4,0) \) и вверх).

Прямая \( y=m \) будет иметь ровно две общие точки в следующих случаях:

• Когда \( m \) находится между минимумом \( -4 \) и значением \( -3 \) (не включая \( -3 \), так как в \( m=-3 \) точка \( (1,-3) \) одна, а \( x=4 \) дает \( y=0 \), что не подходит). Это интервал \( (-4, -3) \).
• Когда \( m = 0 \) (точки \( (0,0) \) и \( (4,0) \)).

Итого: \( m ∈ (-4, -3) \) или \( m = 0 \).

Ответ: \( m ∈ (-4, -3) \) или \( m = 0 \).