220. Упростите выражение: а) $\dfrac{x^2-2x}{x-3}-\dfrac{4x-9}{x-3}$; б) $\dfrac{y^2-10}{y-8}-\dfrac{54}{y-8}$; в) $\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b^2}{b^2-a^2}$; г) $\dfrac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\dfrac{2y-y^2}{y^2-x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 220. Упростите выражение: а) $\dfrac{x^2-2x}{x-3}-\dfrac{4x-9}{x-3}$; б) $\dfrac{y^2-10}{y-8}-\dfrac{54}{y-8}$; в)…$ Фото задания

220. Упростите выражение: а) $\dfrac{x^2-2x}{x-3}-\dfrac{4x-9}{x-3}$; б) $\dfrac{y^2-10}{y-8}-\dfrac{54}{y-8}$; в) $\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b^2}{b^2-a^2}$; г) $\dfrac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\dfrac{2y-y^2}{y^2-x^2}$.

Accepted Answer

Знаменатели одинаковые, поэтому объединяем дроби и упрощаем числитель:
$\dfrac{x^2-2x}{x-3}-\dfrac{4x-9}{x-3}=\dfrac{x^2-2x-(4x-9)}{x-3}=\dfrac{x^2-6x+9}{x-3}=\dfrac{(x-3)^2}{x-3}=x-3$, где $x\ne3$.
Объединяем дроби с одинаковым знаменателем:
$\dfrac{y^2-10}{y-8}-\dfrac{54}{y-8}=\dfrac{y^2-64}{y-8}=\dfrac{(y-8)(y+8)}{y-8}=y+8$, где $y\ne8$.
Учитываем, что $b^2-a^2=-(a^2-b^2)$:
$\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{b^2}{a^2-b^2}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-b^2}=1$, где $a^2\ne b^2$.
Приводим знаменатели к общему виду: $y^2-x^2=-(x^2-y^2)$.
$\dfrac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\dfrac{2y-y^2}{y^2-x^2}=\dfrac{x^2-2x}{x^2-y^2}+\dfrac{2y-y^2}{x^2-y^2}=\dfrac{x^2-2x+2y-y^2}{x^2-y^2}$.
Числитель равен $(x-y)(x+y-2)$, а знаменатель — $(x-y)(x+y)$. Сокращаем общий множитель:
$\dfrac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x+y-2}{x+y}$, где $x^2\ne y^2$.

Ответ: а) $x-3$, $x\ne3$; б) $y+8$, $y\ne8$; в) $1$, $a^2\ne b^2$; г) $\dfrac{x+y-2}{x+y}$, $x^2\ne y^2$.

220. Упростите выражение: а) \(\dfrac{x^2-2x}{x-3}-\dfrac{4x-9}{x-3}\); б) \(\dfrac{y^2-10}{y-8}-\dfrac{54}{y-8}\); в) \(\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b^2}{b^2-a^2}\); г) \(\dfrac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\dfrac{2y-y^2}{y^2-x^2}\).

Ответ: