223. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 223. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$;…$ Фото задания

223. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Accepted Answer

В каждом уравнении введём замену $u=x^2$, $u=y^2$ или $u=t^2$. Поскольку квадрат действительного числа неотрицателен, учитываем только значения $u\geq0$.

а) Пусть $u=x^2$. Тогда $u^2-5u-36=0=(u-9)(u+4)$. Из корней $u=9$ и $u=-4$ подходит только $u=9$. Значит, $x^2=9$, и $x=\pm3$.

Ответ: $x=-3,3$.

б) Пусть $u=y^2$. Тогда $u^2-6u+8=0=(u-2)(u-4)$. Поэтому $y^2=2$ или $y^2=4$, откуда $y=\pm\sqrt{2}$ или $y=\pm2$.

Ответ: $y=-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$.

в) Пусть $u=t^2$. Тогда $u^2+10u+25=0=(u+5)^2$, значит, $u=-5$. Но $t^2\geq0$, поэтому действительных решений нет.

Ответ: корней нет.

г) Пусть $u=x^2$. Тогда $4u^2-5u+1=0=(4u-1)(u-1)$. Отсюда $u=\frac14$ или $u=1$, следовательно, $x=\pm\frac12$ или $x=\pm1$.

Ответ: $x=-1,-\frac12,\frac12,1$.

д) Пусть $u=x^2$. Тогда $9u^2-9u+2=0$. Дискриминант $D=81-72=9$, поэтому $u=\frac{9\pm3}{18}$, то есть $u=\frac13$ или $u=\frac23$. Значит, $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

е) Пусть $u=y^2$. Тогда $16u^2-8u+1=0=(4u-1)^2$, откуда $u=\frac14$. Следовательно, $y^2=\frac14$, и $y=\pm\frac12$.

Ответ: $y=-\frac12,\frac12$.

223. Решите биквадратное уравнение: а) \(x^4-5x^2-36=0\); б) \(y^4-6y^2+8=0\); в) \(t^4+10t^2+25=0\); г) \(4x^4-5x^2+1=0\); д) \(9x^4-9x^2+2=0\); е) \(16y^4-8y^2+1=0\).

Ответ: