223. Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ − 5x² − 36 = 0; б) y⁴ − 6y² + 8 = 0; в) t⁴ + 10t² + 25 = 0; г) 4x⁴ − 5x² + 1 = 0; д) 9x⁴ − 9x² + 2 = 0; е) 16y⁴ − 8y² + 1 = 0.

Для решения биквадратных уравнений введём замену: \(z=x^2\), \(z\ge 0\) (аналогично для переменных \(y\) и \(t\)).

а) \(x^4-5x^2-36=0\).

Пусть \(z=x^2\). Тогда \(z^2-5z-36=0\), откуда \((z-9)(z+4)=0\). Получаем \(z=9\) или \(z=-4\). Так как \(z\ge0\), берём \(z=9\): \(x^2=9\), поэтому \(x=\pm3\).

б) \(y^4-6y^2+8=0\).

Пусть \(z=y^2\). Тогда \(z^2-6z+8=0\), откуда \((z-2)(z-4)=0\). Следовательно, \(y^2=2\) или \(y^2=4\), поэтому \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\).

в) \(t^4+10t^2+25=0\).

\(t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2=0\). Тогда \(t^2=-5\), что невозможно в действительных числах.

г) \(4x^4-5x^2+1=0\).

Пусть \(z=x^2\). Тогда \(4z^2-5z+1=0\). Корни: \(z=1\) и \(z=\frac14\). Поэтому \(x^2=1\) или \(x^2=\frac14\), откуда \(x=\pm1,\ \pm\frac12\).

д) \(9x^4-9x^2+2=0\).

Пусть \(z=x^2\). Тогда \(9z^2-9z+2=0\). Дискриминант: \(D=81-72=9\). Поэтому \(z=\frac{9\pm3}{18}\), то есть \(z=\frac23\) или \(z=\frac13\). Следовательно, \(x=\pm\sqrt{\frac23},\ \pm\frac1{\sqrt3}\).

е) \(16y^4-8y^2+1=0\).

\(16y^4-8y^2+1=(4y^2-1)^2=0\). Тогда \(4y^2-1=0\), откуда \(y^2=\frac14\), поэтому \(y=\pm\frac12\).

Ответ: а) \(x=\pm3\); б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\); в) действительных корней нет; г) \(x=\pm1,\ \pm\frac12\); д) \(x=\pm\sqrt{\frac23},\ \pm\frac1{\sqrt3}\); е) \(y=\pm\frac12\).