224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) $x^4-25x^2+144=0$; б) $y^4+14y^2+48=0$; в) $x^4-4x^2+4=0$; г) $t^4-2t^2-3=0$; д) $2x^4-9x^2+4=0$; е) $5y^4-5y^2+2=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) $x^4-25x^2+144=0$; б) $y^4+14y^2+48=0$; в) $x^4-4x^2+4=0$; г)…$ Фото задания

224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) $x^4-25x^2+144=0$; б) $y^4+14y^2+48=0$; в) $x^4-4x^2+4=0$; г) $t^4-2t^2-3=0$; д) $2x^4-9x^2+4=0$; е) $5y^4-5y^2+2=0$.

Accepted Answer

Используем замену: $z=x^2$, $z=y^2$ или $z=t^2$. После решения квадратного уравнения возвращаемся к исходной переменной.

а) Пусть $z=x^2$. Тогда $z^2-25z+144=0$, откуда $z_1=9$, $z_2=16$. Поэтому $x^2=9$ или $x^2=16$.

Ответ: $x=\pm3;\ x=\pm4$.

б) Пусть $z=y^2$. Получаем $z^2+14z+48=0$, то есть $(z+6)(z+8)=0$. Значения $z=-6$ и $z=-8$ отрицательны, поэтому действительных корней нет.

Ответ: действительных корней нет.

в) Пусть $z=x^2$. Тогда $z^2-4z+4=0$, или $(z-2)^2=0$. Значит, $x^2=2$.

Ответ: $x=\pm\sqrt2$.

г) Пусть $z=t^2$. Тогда $z^2-2z-3=0$, или $(z-3)(z+1)=0$. Значение $z=-1$ не подходит для действительных корней, поэтому $t^2=3$.

Ответ: $t=\pm\sqrt3$.

д) Пусть $z=x^2$. Получаем $2z^2-9z+4=0$. Дискриминант: $D=81-32=49$. Тогда $z_1=4$, $z_2=\frac12$. Следовательно, $x^2=4$ или $x^2=\frac12$.

Ответ: $x=\pm2;\ x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

е) Пусть $z=y^2$. Тогда $5z^2-5z+2=0$. Дискриминант: $D=25-40=-15<0$. Действительных значений $z$, а значит и действительных корней $y$, нет.

Ответ: а) $x=\pm3,\pm4$; б) действительных корней нет; в) $x=\pm\sqrt2$; г) $t=\pm\sqrt3$; д) $x=\pm2,\pm\frac{\sqrt2}{2}$; е) действительных корней нет.

224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) \(x^4-25x^2+144=0\); б) \(y^4+14y^2+48=0\); в) \(x^4-4x^2+4=0\); г) \(t^4-2t^2-3=0\); д) \(2x^4-9x^2+4=0\); е) \(5y^4-5y^2+2=0\).

Ответ: