227. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения: а) (n + 6)/n; б) (5n − 12)/n; в) (36 − n²)/n²?

1. а) \(\dfrac{n+6}{n}=1+\dfrac{6}{n}\). Чтобы значение было натуральным, \(n\) должно быть натуральным делителем числа 6: \(n\in\{1,2,3,6\}\). Значения выражения соответственно равны 7, 4, 3 и 2.

2. б) \(\dfrac{5n-12}{n}=5-\dfrac{12}{n}\). Нужно, чтобы \(n\) было делителем 12, а значение выражения было положительным. Из делителей 12 подходят \(n=3,4,6,12\): значения выражения равны 1, 2, 3 и 4.

3. в) \(\dfrac{36-n^2}{n^2}=\dfrac{36}{n^2}-1\). Для натурального значения \(n^2\) должно делить 36, а результат должен быть положительным. Подходят \(n=1,2,3\); значения выражения равны 35, 8 и 3. При \(n=6\) получается 0, которое не является натуральным числом.

Ответ: а) \(n=1,2,3,6\); б) \(n=3,4,6,12\); в) \(n=1,2,3\).