228. Основанием наклонной призмы ABC[A1B1C1] является равнобедренный треугольник ABC, в котором AC=AB=13 см, BC=10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани CC1B1B.

Решение:

Для нахождения площади грани CC₁B₁B, нам нужно определить ее высоту и длину основания. Основанием грани является ребро BC, длина которого равна 10 см.

Высота грани CC₁B₁B перпендикулярна основанию BC и равна высоте призмы. В условии сказано, что боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A₁ является точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим эту точку как O. В равнобедренном треугольнике ABC (где AC=AB) медиана, проведенная к основанию BC, является также высотой. Пусть эта медиана будет AM, где M - середина BC. Тогда AM перпендикулярна BC.

Поскольку A₁O является высотой призмы (проекция A₁ на плоскость основания), то угол между боковым ребром AA₁ и основанием ABC равен 45°. Это означает, что треугольник AA₁O является прямоугольным, и угол AA₁O равен 45°, а значит, угол A₁AO также равен 45°. Таким образом, треугольник A₁AO является равнобедренным прямоугольным, и A₁A = AO.

Найдем длину медианы AM в треугольнике ABC. Так как M - середина BC, то BM = MC = 10/2 = 5 см. Треугольник AMC - прямоугольный (так как AM - высота). По теореме Пифагора:

AM² + MC² = AC²

AM² + 5² = 13²

AM² + 25 = 169

AM² = 169 - 25 = 144

AM = √144 = 12 см

Точка пересечения медиан (центроид) делит медиану в отношении 2:1. Точка O является центроидом. Следовательно, AO = (2/3) * AM.

AO = (2/3) * 12 = 8 см

Так как треугольник A₁AO - равнобедренный прямоугольный, то высота призмы h = A₁A = AO = 8 см.

Площадь грани CC₁B₁B (которая является прямоугольником) вычисляется по формуле:

Площадь = основание * высота

Площадь грани CC₁B₁B = BC * h

Площадь грани CC₁B₁B = 10 см * 8 см = 80 см²

Ответ: 80 см²