229. В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности, если: а) n = 3, a = 10 см, h = 15 см; б) n = 4, a = 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм; г) n = 5, a = 0,4 м, h = 10 см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы: \(S_{бок}=P_{осн}h=nah\).

Площадь полной поверхности: \(S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}\).

1. а) \(n=3\), \(a=10\) см, \(h=15\) см.

   Основание — равносторонний треугольник:

   \(S_{осн}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{100\sqrt3}{4}=25\sqrt3\text{ см}^2\).

   \(S_{бок}=nah=3\cdot10\cdot15=450\text{ см}^2\).

   \(S_{полн}=450+2\cdot25\sqrt3=450+50\sqrt3\text{ см}^2\).

2. б) \(n=4\), \(a=12\) дм, \(h=8\) дм.

   Основание — квадрат:

   \(S_{осн}=a^2=12^2=144\text{ дм}^2\).

   \(S_{бок}=4\cdot12\cdot8=384\text{ дм}^2\).

   \(S_{полн}=384+2\cdot144=672\text{ дм}^2\).

3. в) \(n=6\), \(a=23\) см, \(h=5\) дм \(=50\) см.

   Основание — правильный шестиугольник:

   \(S_{осн}=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot23^2=\dfrac{1587\sqrt3}{2}\text{ см}^2\).

   \(S_{бок}=6\cdot23\cdot50=6900\text{ см}^2\).

   \(S_{полн}=6900+2\cdot\dfrac{1587\sqrt3}{2}=6900+1587\sqrt3\text{ см}^2\).

4. г) \(n=5\), \(a=0,4\) м, \(h=10\) см \(=0,1\text{ м}\).

   Площадь правильного пятиугольника:

   \(S_{осн}=\dfrac{a^2}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt5)}=\dfrac{0,4^2}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt5)}=0,04\sqrt{25+10\sqrt5}\text{ м}^2\).

   \(S_{бок}=5\cdot0,4\cdot0,1=0,2\text{ м}^2\).

   \(S_{полн}=0,2+2\cdot0,04\sqrt{25+10\sqrt5}=0,2+0,08\sqrt{25+10\sqrt5}\text{ м}^2\).

Ответ: а) \(S_{бок}=450\text{ см}^2\), \(S_{полн}=450+50\sqrt3\text{ см}^2\); б) \(S_{бок}=384\text{ дм}^2\), \(S_{полн}=672\text{ дм}^2\); в) \(S_{бок}=6900\text{ см}^2\), \(S_{полн}=6900+1587\sqrt3\text{ см}^2\); г) \(S_{бок}=0,2\text{ м}^2\), \(S_{полн}=0,2+0,08\sqrt{25+10\sqrt5}\text{ м}^2\).