229 В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12 дм, h=8 м; в) n=6, a=23 см, h=5 м; г) n=5, a=0.4 м, h=10 см.

Решение:

Для правильной n-угольной призмы:

• Площадь боковой поверхности (S_бок) = Периметр основания (P_осн) * Высота (h)
• Периметр основания правильного n-угольника: P_осн = n * a
• Площадь основания (S_осн) правильного n-угольника: S_осн = (n * a²) / (4 * tan(π/n))
• Площадь полной поверхности (S_полн) = S_бок + 2 * S_осн

а) n=3, a=10 см, h=15 см

• Периметр основания: P_осн = 3 * 10 см = 30 см
• Площадь боковой поверхности: S_бок = 30 см * 15 см = 450 см²
• Площадь основания (треугольник): S_осн = (3 * (10 см)²) / (4 * tan(π/3)) = (3 * 100 см²) / (4 * √3) = 300 / (4 * 1.732) ≈ 75 / 1.732 ≈ 43.3 см²
• Площадь полной поверхности: S_полн = 450 см² + 2 * 43.3 см² = 450 см² + 86.6 см² = 536.6 см²

б) n=4, a=12 дм, h=8 м

• Переведем все в одну единицу измерения, например, в метры: a = 12 дм = 1.2 м, h = 8 м.
• Периметр основания: P_осн = 4 * 1.2 м = 4.8 м
• Площадь боковой поверхности: S_бок = 4.8 м * 8 м = 38.4 м²
• Площадь основания (квадрат): S_осн = a² = (1.2 м)² = 1.44 м²
• Площадь полной поверхности: S_полн = 38.4 м² + 2 * 1.44 м² = 38.4 м² + 2.88 м² = 41.28 м²

в) n=6, a=23 см, h=5 м

• Переведем все в одну единицу измерения, например, в сантиметры: a = 23 см, h = 5 м = 500 см.
• Периметр основания: P_осн = 6 * 23 см = 138 см
• Площадь боковой поверхности: S_бок = 138 см * 500 см = 69000 см²
• Площадь основания (шестиугольник): S_осн = (6 * (23 см)²) / (4 * tan(π/6)) = (6 * 529 см²) / (4 * (1/√3)) = 3174 / (4 / 1.732) = 3174 / 2.309 ≈ 1374.6 см²
• Площадь полной поверхности: S_полн = 69000 см² + 2 * 1374.6 см² = 69000 см² + 2749.2 см² = 71749.2 см²

г) n=5, a=0.4 м, h=10 см

• Переведем все в одну единицу измерения, например, в метры: a = 0.4 м, h = 10 см = 0.1 м.
• Периметр основания: P_осн = 5 * 0.4 м = 2 м
• Площадь боковой поверхности: S_бок = 2 м * 0.1 м = 0.2 м²
• Площадь основания (пятиугольник): S_осн = (5 * (0.4 м)²) / (4 * tan(π/5)) = (5 * 0.16 м²) / (4 * 0.7265) = 0.8 / 2.906 ≈ 0.275 м²
• Площадь полной поверхности: S_полн = 0.2 м² + 2 * 0.275 м² = 0.2 м² + 0.55 м² = 0.75 м²

Ответ:

• а) S_бок = 450 см², S_полн ≈ 536.6 см²
• б) S_бок = 38.4 м², S_полн = 41.28 м²
• в) S_бок = 69000 см², S_полн ≈ 71749.2 см²
• г) S_бок = 0.2 м², S_полн = 0.75 м²