23-24√2-√2. Найдите значение выражения 11-√2

Дано:

• \[ \frac{23-24\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \]

Решение:

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю:

   Знаменатель: \(1-\sqrt{2}\). Сопряженное выражение: \(1+\sqrt{2}\).

   \[ \frac{23-24\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(23-24\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} \]

2. Раскроем скобки в числителе:

   \[ (23-24\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 23 \cdot 1 + 23 \cdot \sqrt{2} - 24\sqrt{2} \cdot 1 - 24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \]

   \[ = 23 + 23\sqrt{2} - 24\sqrt{2} - 24 \cdot 2 \]

   \[ = 23 - \sqrt{2} - 48 \]

   \[ = -25 - \sqrt{2} \]

3. Раскроем скобки в знаменателе (формула разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)):

   \[ (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \]

4. Разделим числитель на знаменатель:

   \[ \frac{-25-\sqrt{2}}{-1} = 25+\sqrt{2} \]

Ответ: 25+√2