23.3. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 1/2; 2) sin α = 0,6 и π/2 < α < π; 3) tg α = 2 и π < α < 3π/2; 4) ctg α = −4/3 и 3π/2 < α < 2π.

Question

Вопрос:

Фото задания: 23.3. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 1/2; 2) sin α = 0,6 и π/2 < α < π; 3) tg α…

23.3. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 1/2; 2) sin α = 0,6 и π/2 < α < π; 3) tg α = 2 и π < α < 3π/2; 4) ctg α = −4/3 и 3π/2 < α < 2π.

Accepted Answer

Из равенства \(\cos\alpha=\frac12\) следует \(\sin^2\alpha=1-\frac14=\frac34\), поэтому \(\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2}\). Знак зависит от четверти, которая не указана. Тогда \( g\alpha=\pm\sqrt3\), а \(\ctg\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}\), причём знаки соответствуют знаку синуса.
\(\sin\alpha=0.6=\frac35\). Угол во II четверти, поэтому косинус отрицателен. По тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45\). Следовательно, \( g\alpha=-\frac34\), \(\ctg\alpha=-\frac43\).
Угол в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен. Из \( g\alpha=2\) и тождества \(1+ g^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\) получаем \(|\cos\alpha|=\frac1{\sqrt5}\), значит \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}\). Тогда \(\sin\alpha= g\alpha\cos\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}\), \(\ctg\alpha=\frac12\).
Угол в IV четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\), \(\sin\alpha<0\). Так как \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\frac43\), по тройке 3–4–5 получаем \(\cos\alpha=\frac45\), \(\sin\alpha=-\frac35\). Тогда \( g\alpha=-\frac34\).

Ответ: 1) значения зависят от четверти: \(\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2}\), \( g\alpha=\pm\sqrt3\), \(\ctg\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}\) с согласованными знаками; 2) \(\cos\alpha=-\frac45\), \( g\alpha=-\frac34\), \(\ctg\alpha=-\frac43\); 3) \(\sin\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}\), \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}\), \(\ctg\alpha=\frac12\); 4) \(\sin\alpha=-\frac35\), \(\cos\alpha=\frac45\), \( g\alpha=-\frac34\).