23.4. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 12/13 и 0 < α < π/2; 2) sin α = −√3/4 и π < α < 3π/2; 3) tg α = −1/3 и 3π/2 < α < 2π; 4) ctg α = −7 и π/2 < α < π.

Question

Вопрос:

Фото задания: 23.4. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 12/13 и 0 < α < π/2; 2) sin α = −√3/4 и π < α…

23.4. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 12/13 и 0 < α < π/2; 2) sin α = −√3/4 и π < α < 3π/2; 3) tg α = −1/3 и 3π/2 < α < 2π; 4) ctg α = −7 и π/2 < α < π.

Accepted Answer

Угол в I четверти, поэтому синус положителен. \(\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac5{13}\). Тогда \( g\alpha=\frac5{12}\), \(\ctg\alpha=\frac{12}{5}\).
Угол в III четверти, поэтому косинус отрицателен. \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac3{16}}=-\frac{\sqrt{13}}4\). Тогда \( g\alpha=\frac{-\sqrt3/4}{-\sqrt{13}/4}=\frac{\sqrt{39}}{13}\), \(\ctg\alpha=\frac{\sqrt{39}}3\).
Угол в IV четверти, поэтому косинус положителен, а синус отрицателен. Из \( g\alpha=-\frac13\) получаем по треугольнику с катетами 1 и 3 и гипотенузой \(\sqrt{10}\): \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}\). Значит, \(\ctg\alpha=-3\).
Угол во II четверти, поэтому синус положителен, косинус отрицателен. Из \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-7\) следует отношение косинуса к синусу \(-7:1\). Нормируя по тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), получаем \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{10}\), \(\cos\alpha=-\frac{7\sqrt2}{10}\). Тогда \( g\alpha=-\frac17\).

Ответ: 1) \(\sin\alpha=\frac5{13}\), \( g\alpha=\frac5{12}\), \(\ctg\alpha=\frac{12}{5}\); 2) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}4\), \( g\alpha=\frac{\sqrt{39}}{13}\), \(\ctg\alpha=\frac{\sqrt{39}}3\); 3) \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\ctg\alpha=-3\); 4) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{10}\), \(\cos\alpha=-\frac{7\sqrt2}{10}\), \( g\alpha=-\frac17\).