23. Биссектриса угла М параллелограмма MNKL пересекает сторону NK в точке P. Найди периметр параллелограмма, если NP = 9, PK = 15.

Решение:

В параллелограмме MNKL биссектриса угла M пересекает сторону NK в точке P.

По свойствам биссектрисы угла параллелограмма, так как MP — биссектриса угла M, то \( \angle NMP = \angle KMP \).

Так как MNKL — параллелограмм, то NK || ML, и MN || KL.

При параллельных прямых MN и KL и секущей MP имеем \( \angle NMP = \angle KPM \) (как накрест лежащие углы).

Из равенства \( \angle NMP = \angle KMP \) и \( \angle NMP = \angle KPM \) следует, что \( \angle KMP = \angle KPM \).

Следовательно, треугольник KMP — равнобедренный, и KM = KP.

Так как MNKL — параллелограмм, то его противоположные стороны равны: MN = KL и NK = ML.

Мы знаем, что NK = NP + PK = 9 + 15 = 24.

Из того, что KM = KP, и учитывая, что KM = 15 (поскольку KL = MN, а KP=15), то KP=15. Значит, NK=24. Тогда NP = NK-KP=24-15=9. Это условие совпадает с заданным.

Итак, сторона NK = 24. Так как MNKL — параллелограмм, то ML = NK = 24.

Также, так как \( \angle KMP = \angle KPM \) и \( \angle NMP = \angle KMP \), то \( \angle NMP = \angle KPM \). Это значит, что треугольник NMP равнобедренный, и MN = NP = 9.

Проверим: если MN = 9, то KL = 9. Тогда NK = NP + PK = 9 + 15 = 24. ML = NK = 24. Это соответствует условию.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин двух соседних сторон: \( P = 2(MN + NK) \).

\( P = 2(9 + 24) = 2(33) = 66 \).

Ответ: 66