23. Человек стоит на круглой арене цирка. Расстояние до самой близкой точки на её границе равно 13 м, а до самой удалённой — 31 м. Чему равно расстояние от человека до центра этой арены?

Краткая запись:

• Расстояние до ближайшей точки границы (r_min): 13 м
• Расстояние до самой удалённой точки границы (r_max): 31 м
• Найти: Расстояние от человека до центра арены (x) — ?

Пошаговое решение:

Пусть центр арены находится в точке O, а человек — в точке A. Арена имеет форму круга. Пусть радиус арены равен R. Точка A находится внутри круга.

1. Расстояние от человека (A) до самой близкой точки границы (B) равно 13 м. Эта точка лежит на отрезке AO, продленном до границы круга. Таким образом,
   • AO + AB = R
   • x + 13 = R
2. Расстояние от человека (A) до самой удалённой точки границы (C) равно 31 м. Эта точка лежит на отрезке AO, продленном в противоположном направлении до границы круга. Таким образом,
   • AC = AO + OC
   • 31 = x + R
3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   1. x + 13 = R
   2. x + 31 = R
4. Решаем систему. Приравниваем R из обоих уравнений:
• x + 13 = x + 31
5. Это уравнение не имеет решения, что указывает на неправильное понимание задачи. Давайте переформулируем:

Рассмотрим расстояние от человека до центра арены как 'x'. Радиус арены - 'R'.

Самая близкая точка на границе будет находиться на линии, соединяющей человека и центр, и будет равна R - x. Самая дальняя точка на границе будет находиться на той же линии, но в противоположном направлении, и будет равна R + x.

1. Условие задачи:
• R - x = 13 м
• R + x = 31 м
2. Теперь решаем эту систему уравнений. Сложим оба уравнения:
• (R - x) + (R + x) = 13 + 31
• 2R = 44
• R = 44 / 2
• R = 22 м
3. Теперь подставим значение R в любое из уравнений, чтобы найти x. Возьмем второе уравнение:
• 22 + x = 31
• x = 31 - 22
• x = 9 м

Таким образом, расстояние от человека до центра арены равно 9 м.

Проверка:

Если x = 9 м и R = 22 м:

• Ближайшая точка: R - x = 22 - 9 = 13 м (верно)
• Удаленная точка: R + x = 22 + 9 = 31 м (верно)

Ответ: 9 м