23. Диаграмма представляет собой поле в форме четырехугольника ABCD. AB = 32 м, BC = 43 м и AC = 64 м. (a) (i) Четко покажите, что угол CAB = 37,0° с точностью до одного знака после запятой. (ii) Вычислите площадь треугольника ABC. (b) CD = 70 м и угол DAC = 55°. Вычислите периметр всего поля ABCD.

(a)(i) По теореме косинусов:

\(\cos \angle CAB=\dfrac{32^2+64^2-43^2}{2\cdot32\cdot64}=\dfrac{3271}{4096}\).

\(\angle CAB=\cos^{-1}(0.7986)=37.0^\circ\).

(a)(ii) Площадь треугольника:

\(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle CAB\)

\(S=\dfrac12\cdot32\cdot64\cdot\sin37.0^\circ\approx616.3\text{ м}^2\).

(b) В треугольнике ACD по теореме косинусов:

\(70^2=64^2+AD^2-2\cdot64\cdot AD\cos55^\circ\).

Решая квадратное уравнение и выбирая положительное значение, получаем:

\(AD\approx83.1\text{ м}\).

Периметр:

\(P=AB+BC+CD+AD=32+43+70+83.1=228.1\text{ м}\).

Ответ: (a)(i) \(37.0^\circ\); (a)(ii) \(616.3\text{ м}^2\); (b) \(228.1\text{ м}\).