Ответ:

  1. После Четвёртого крестового похода Византия потеряла Константинополь и значительную часть своих владений.
  2. В 1261 г. Константинополь удалось вернуть, но Византийская империя уже не смогла восстановить прежнюю мощь.
  3. Территория империи постепенно сокращалась, а многие земли переходили к соседним государствам и туркам-османам.
  4. Византия ослабла экономически и зависела от помощи других европейских государств.
  5. В 1453 г. османы захватили Константинополь, что привело к падению Византийской империи.

Вывод: название «Умирающая империя» объясняется длительным политическим, территориальным и экономическим ослаблением Византии, завершившимся её падением.