23. Из двух противоположных вершин параллелограмма на его стороны опустили перпендикуляры. Докажите, что их основания образуют прямоугольник. (рис.)

Пусть дан параллелограмм ABCD. Из противоположных вершин A и C опустим перпендикуляры на стороны параллелограмма. Обозначим основания перпендикуляров через M, N, P, Q.

1. Каждая из сторон параллелограмма имеет параллельную ей противоположную сторону.
2. Перпендикуляры, опущенные на параллельные стороны, параллельны между собой. Поэтому две противоположные стороны четырёхугольника MNPQ параллельны.
3. Угол между соседними основаниями равен углу между двумя перпендикулярами к сторонам параллелограмма. Если две прямые соответственно перпендикулярны двум другим прямым, то угол между ними равен углу между этими другими прямыми.
4. Соседние стороны параллелограмма образуют дополнительные углы, поэтому соответствующие соседние основания перпендикуляров также перпендикулярны.
5. Таким образом, MNPQ — параллелограмм, у которого один угол прямой. Следовательно, все его углы прямые.

Ответ: основания перпендикуляров образуют прямоугольник.