23. ∠MON = 120°, ∠KOM + ∠NOK = = 6(∠KOM - ∠NOK), ∠KOM, ∠NOK — ?

Решение:

Дано: \( \angle MON = 120^{\circ} \).

\( \angle MON = \angle KOM + \angle NOK \).

Следовательно, \( \angle KOM + \angle NOK = 120^{\circ} \) (1).

Также дано: \( \angle KOM + \angle NOK = 6 (\angle KOM - \angle NOK) \).

Подставим значение \( \angle KOM + \angle NOK \) из уравнения (1):

\( 120^{\circ} = 6 (\angle KOM - \angle NOK) \).

Разделим обе части на 6:

\( \frac{120^{\circ}}{6} = \angle KOM - \angle NOK \).

\( 20^{\circ} = \angle KOM - \angle NOK \) (2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( \angle KOM + \angle NOK = 120^{\circ} \)
2. \( \angle KOM - \angle NOK = 20^{\circ} \)

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (\angle KOM + \angle NOK) + (\angle KOM - \angle NOK) = 120^{\circ} + 20^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle KOM = 140^{\circ} \).

\( \angle KOM = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Подставим значение \( \angle KOM \) в уравнение (1):

\( 70^{\circ} + \angle NOK = 120^{\circ} \).

\( \angle NOK = 120^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ} \).

Проверим полученные значения, подставив их во второе уравнение:

\( \angle KOM - \angle NOK = 70^{\circ} - 50^{\circ} = 20^{\circ} \). Это соответствует уравнению (2).

Ответ: \( \angle KOM = 70^{\circ}, \angle NOK = 50^{\circ} \).