23. Нарисуйте треугольник ABC и проведите через его вершины A, B и C прямые, параллельные противоположным сторонам. Обозначьте вершины получившегося треугольника A₁, B₁ и C₁ так, чтобы точки A и A₁ лежали по разные стороны от прямой BC, а точки B и B₁ — от прямой AC. Сравните длины сторон AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, BC и B₁C₁. Сделайте предположение.

Через A проведём прямую, параллельную BC; через B — прямую, параллельную AC; через C — прямую, параллельную AB. Их попарные пересечения образуют треугольник A₁B₁C₁. По условию вершины выбираются так, что A и A₁ находятся по разные стороны от BC, а B и B₁ — по разные стороны от AC.

Поскольку соответствующие стороны полученных треугольников лежат на параллельных прямых, четырёхугольники AB₁CA₁ и ABCB₁ (при соответствующем расположении вершин) дают пары равных противоположных сторон; эквивалентно, каждый из треугольников ABC и A₁B₁C₁ получается как половина параллелограмма. Поэтому соответствующие стороны равны:

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁.

Предположение: если через вершины треугольника провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то образованный треугольник равен исходному; их соответствующие стороны равны.