23. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 18.

Решение:

1. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 45°, значит, треугольник ABH равнобедренный. Следовательно, AH = BH.

2. Рассмотрим угол C. Угол BCD = 120°. Проведем высоту CH1 из вершины C к основанию AD. В прямоугольном треугольнике CDH1, угол CDH1 = 180° - 120° = 60°. Тогда угол D = 180° - 90° - 60° = 30°.

3. Рассмотрим трапецию ABCD. Так как углы ABC = 45° и BCD = 120°, то сумма углов смежных боковых сторон равна 180°. Это означает, что AB || CD, что противоречит условию ABCD - трапеция.

Переосмыслим условие. Пусть AB и CD - боковые стороны, а AD и BC - основания.

1. Проведем из вершины C высоту CK к основанию AD. В прямоугольном треугольнике CDK, угол D = 180° - 120° = 60°. Следовательно, угол D = 30°.

2. Рассмотрим угол ABC = 45°. Угол B = 45°, угол C = 120°. Сумма углов при основании трапеции равна 180°, значит, AD || BC. Это неверно.

Предположим, что AD и BC - основания.

1. Проведем из вершины B высоту BH к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 45°.

2. Проведем из вершины C высоту CK к основанию AD. В прямоугольном треугольнике CDK, угол CDK = 180° - 120° = 60°.

3. В прямоугольном треугольнике CD K, CK = CD * sin(60°) = 18 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 9\(\sqrt{3}\).

4. В прямоугольном треугольнике ABH, BH = AB. Так как BH = CK, то AB = 9\(\sqrt{3}\).

5. Угол D = 30°.

Ответ: AB = 9\(\sqrt{3}\).