Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
23. Отрезки MN и KL лежат на параллельных прямых, а отрезки ML и KN пересекаются в точке О. Найди OL, если MN = 5, KL = 30, ML = 14.
Ответ:
Краткое пояснение: Задача решается с помощью подобия треугольников. Так как прямые MN и KL параллельны, а отрезки ML и KN пересекаются в точке O, то образуются две пары подобных треугольников: \(\triangle MON \sim \triangle KOL\) и \(\triangle MOK \sim \triangle NOL\). Используя соотношение сторон подобных треугольников, мы можем найти искомую длину OL.
Пошаговое решение:
- Определение подобных треугольников:
Рассмотрим треугольники \(\triangle MON\) и \(\triangle KOL\).
Углы \(\angle MON = \angle KOL\) как вертикальные.
Углы \(\angle OMN = \angle OLK\) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KL и секущей ML.
Углы \(\angle ONM = \angle OKL\) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KL и секущей KN.
Следовательно, \(\triangle MON \sim \triangle KOL\) по трем углам. - Составление пропорции:
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\( \frac{MO}{KO} = \frac{NO}{LO} = \frac{MN}{KL} \)
Нам дано, что \(MN = 5\) и \(KL = 30\).
Таким образом, коэффициент подобия равен \( \frac{MN}{KL} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \). - Нахождение OL:
Мы знаем, что \(ML = 14\). Отрезок ML состоит из отрезков MO и OL: \(ML = MO + OL\).
Из пропорции \( \frac{MO}{KO} = \frac{NO}{LO} = \frac{MN}{KL} \) мы можем выразить MO через KO и NO через LO, но нам это не нужно напрямую.
Рассмотрим другую пару подобных треугольников: \(\triangle MOK \sim \triangle NOL\).
Аналогично, \(\angle MOK = \angle NOL\) (вертикальные), \(\angle OMK = \angle ONL\) (накрест лежащие), \(\angle OMК = \angle ONL\) (накрест лежащие).
Следовательно, \(\triangle MOK \sim \triangle NOL\).
Из их подобия следует:
\( \frac{MO}{NO} = \frac{KO}{LO} = \frac{MK}{NL} \)
Это тоже не самый прямой путь.
Вернемся к \(\triangle MON \sim \triangle KOL\).
Используем соотношение частей отрезка ML. Пусть \(MO = x\), тогда \(OL = 14 - x\).
Из подобия \(\triangle MON \sim \triangle KOL\), имеем:
\( \frac{MO}{OL} = \frac{MN}{KL} \)
\( \frac{x}{14 - x} = \frac{5}{30} \)
\( \frac{x}{14 - x} = \frac{1}{6} \)
Решаем уравнение:
\( 6x = 1 · (14 - x) \)
\( 6x = 14 - x \)
\( 6x + x = 14 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{7} \)
\( x = 2 \)
Таким образом, \(MO = 2\).
Тогда \(OL = ML - MO = 14 - 2 = 12\).
Ответ: 12
