Решение:
Во всех указанных словах пропущена буква ь. Она ставится после согласных перед другими согласными или в конце слова для обозначения мягкости.
- Короткий зимний день начинал смеркаться (М.-Сиб.).
- Серёжу потянуло искупаться.
- Она стала взбираться в горы.
- Я боюсь серьёзно увлечься.
- Он добросовестно старался постичь охотничью премудрость.
- Нам удалось достичь острова.
- И нечему дивиться: как дереву с огнём дружиться (Кр.).
- На ёлке должны зажечься огни.
- Отец велел запрячь беговые дрожки.
- Мыться и стричься — так и хлеба не мальчики не любили.
- Не потрудиться.
- Нужно разжечь костёр.
Ответ: Во всех случаях вставляется буква ь для обозначения мягкости согласного или в конце глагола.