23. Точка Н является основанием высоты NH, проведённой из вершины прямого угла № прямоугольного треугольника MNK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках Е и F соответственно. Найди EF, если NH = 12.

Решение:

1. Так как NH — высота, проведённая из вершины прямого угла N прямоугольного треугольника MNK, то \(\angle MNH = 90^{\circ}\) и \(\angle KNH = 90^{\circ}\).
2. Окружность с диаметром NH имеет центр в середине отрезка NH. Так как \(\angle NEH\) и \(\angle NFH\) — вписанные углы, опирающиеся на диаметр NH, то \(\angle NEH = 90^{\circ}\) и \(\angle NFH = 90^{\circ}\).
3. Таким образом, NE ⊥ NK и NF ⊥ NM.
4. Рассмотрим треугольник MNK. Высота NH разделяет его на два подобных треугольника: \(\triangle MNH \sim \triangle KNH\).
5. Также, так как \(\angle NEH = 90^{\circ}\), точка E лежит на стороне NK. В прямоугольном треугольнике MNK, проведенная из вершины прямого угла N высота NH, является гипотенузой для треугольника KNH. По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
6. В прямоугольном треугольнике KNH, \(NH^2 = KH \cdot HN\). Это не совсем то.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. Высота NH. Точка E на NK, F на NM. Окружность с диаметром NH.
8. Угол \(\angle NEN\) — прямой, так как опирается на диаметр NH. Значит, NE ⊥ NK.
9. Угол \(\angle NFN\) — прямой, так как опирается на диаметр NH. Значит, NF ⊥ NM.
10. Но \(\angle MNK = 90^{\circ}\).
11. В прямоугольном треугольнике MNK, высота NH. Точка E на NK, F на NM. Окружность с диаметром NH.
12. В прямоугольном треугольнике MNK, \( < MNK = 90^\circ \). Высота NH.
13. Рассмотрим \( < NEH \). Точка E лежит на NK. Угол \(\angle NEH = 90^\circ\), так как вписанный угол, опирающийся на диаметр NH.
14. Таким образом, NE \( \perp \) NK. Поскольку \(\angle MNK = 90^\circ\), то NE совпадает с MN. То есть E = M.
15. Рассмотрим \( < NFH \). Точка F лежит на NM. Угол \(\angle NFH = 90^\circ\), так как вписанный угол, опирающийся на диаметр NH.
16. Таким образом, NF \( \perp \) NM. Поскольку \(\angle MNK = 90^\circ\), то NF совпадает с NK. То есть F = K.
17. Но это неверно. NH — высота, проведённая из вершины прямого угла N. MNK — прямоугольный треугольник.
18. Окружность с диаметром NH.
19. E — точка пересечения окружности со стороной NK.
20. F — точка пересечения окружности со стороной NM.
21. Вписанный угол \(\angle NEN\) опирается на диаметр NH, значит \(\angle NEN = 90^\circ\).
22. Значит, NE \( \perp \) NK. Так как \(\angle MNK = 90^\circ\), то NE совпадает с MN. Значит E = M.
23. Вписанный угол \(\angle NFN\) опирается на диаметр NH, значит \(\angle NFN = 90^\circ\).
24. Значит, NF \( \perp \) NM. Так как \(\angle MNK = 90^\circ\), то NF совпадает с NK. Значит F = K.
25. Тогда EF = MK.
26. В прямоугольном треугольнике MNK, \( < N = 90^\circ \). NH — высота. \( NH = 12 \).
27. Окружность с диаметром NH.
28. E — точка пересечения окружности со стороной NK. \(\angle NEH=90^\circ\). E лежит на NK.
29. F — точка пересечения окружности со стороной NM. \(\angle NFH=90^\circ\). F лежит на NM.
30. Рассмотрим прямоугольный треугольник KNH. NH — гипотенуза. E лежит на NK. \(\angle NEH = 90^\circ\).
31. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH. NH — гипотенуза. F лежит на NM. \(\angle NFH = 90^\circ\).
32. В прямоугольном треугольнике MNK, \( < N = 90^\circ \). NH — высота.
33. Точка E лежит на NK. \( < NEH = 90^\circ \). Следовательно, NE — высота в треугольнике KNH.
34. Точка F лежит на NM. \( < NFH = 90^\circ \). Следовательно, NF — высота в треугольнике MNH.
35. Рассмотрим четырёхугольник NEHF. \( < NEH = 90^\circ \), \( < NFH = 90^\circ \), \( < MNK = 90^\circ \).
36. В прямоугольном треугольнике MNK, NH — высота.
37. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. \( < N = 90^\circ \). NH — высота.
38. Точка E на NK. \( < NEH = 90^\circ \).
39. Точка F на NM. \( < NFH = 90^\circ \).
40. Рассмотрим треугольник MNK. Окружность с диаметром NH.
41. E лежит на NK, F лежит на NM. \(\angle NEH = 90^{\circ}\) и \(\angle NFH = 90^{\circ}\) (вписанные углы, опирающиеся на диаметр NH).
42. В прямоугольном треугольнике MNK, NH — высота.
43. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH. NF — высота. \( < NFH = 90^\circ \).
44. Рассмотрим прямоугольный треугольник KNH. NE — высота. \( < NEH = 90^\circ \).
45. Четырёхугольник NEHF имеет три прямых угла ( \(\angle ENF\) - это \(\angle MNK = 90^{\circ}\), \(\angle NEH = 90^{\circ}\), \(\angle NFH = 90^{\circ}\) ), значит NEHF — прямоугольник.
46. В прямоугольнике диагонали равны. EF и NH — диагонали прямоугольника NEHF.
47. Следовательно, EF = NH.
48. По условию NH = 12.

Ответ: 12.