23. Упростите выражения: а) \(\sqrt{2-\sqrt3}\); б) \(\sqrt{129-56\sqrt5}\); в) \(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\); г) \(\sqrt{5^7+12\sqrt{15}}\).

Используем формулы \((\sqrt m-\sqrt n)^2=m+n-2\sqrt{mn}\) и \((\sqrt m+\sqrt n)^2=m+n+2\sqrt{mn}\).

1. а) \(2-\sqrt3=\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\right)^2\), поэтому \(\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\).
2. б) Ищем представление \(129-56\sqrt5=(\sqrt m-\sqrt n)^2\). Тогда \(m+n=129\), \(mn=56^2\cdot5=15680\); отсюда \(m=245\), \(n=-116\) невозможно. Более непосредственно, минимальное значение \((\sqrt m-\sqrt n)^2\) при фиксированной сумме 129 не задаёт такой радиканд: квадрат произведения подкоренного члена требует \(mn=15680\), но дискриминант \(129^2-4\cdot15680<0\). Значит, в действительных числах выражение не упрощается в сумму или разность квадратных корней; оно определено и равно \(\sqrt{129-56\sqrt5}\).
3. в) \(7+2\sqrt{10}=(\sqrt5+\sqrt2)^2\), поэтому результат \(\sqrt5+\sqrt2\).
4. г) Подкоренное выражение \(5^7+12\sqrt{15}=78125+12\sqrt{15}\). Оно не является квадратом вида \((\sqrt m\pm\sqrt n)^2\) с рациональными \(m,n\): для такого квадрата сумма рациональных частей равна 78125, а произведение должно быть \((12^2\cdot15)/4=540\); соответствующее квадратное уравнение имеет отрицательный дискриминант. Поэтому в указанном виде радиканд не сводится к сумме или разности корней; выражение остаётся \(\sqrt{78125+12\sqrt{15}}\).