23. В равнобедренной трапеции ABCD, AD и BC — основания, AB = DC. Докажите: AC = DB. Докажите равенство треугольников: а) применив признак равенства треугольников по свойству углов при основании; б) ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = DC по условию, сторона AD общая, ∠A = ∠D).

а) Рассмотрим треугольники ABD и DCA. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠CDA. Стороны AB и DC равны по условию, а AD — общая сторона. Поэтому ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BD = AC.

б) В треугольниках ABD и DCA: AB = DC по условию, AD = DA как общая сторона, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции. Следовательно, ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними, поэтому AC = DB.

Ответ: AC = DB.