23. В равнобедренной трапеции с основаниями, равными 13 и 31, известен периметр: P = 74. Найди площадь этой трапеции.

Пусть боковые стороны равнобедренной трапеции равны \(x\). Тогда по формуле периметра:

\(13+31+2x=74\).

\(2x=30\), поэтому \(x=15\).

Разность оснований равна \(31-13=18\), значит, при проведении высот получаются два прямоугольных треугольника с катетом \(18:2=9\) и гипотенузой \(15\).

Высота трапеции:

\(h=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\).

Площадь трапеции:

\(S=\frac{13+31}{2}\cdot12=22\cdot12=264\).

Ответ: 264.