23 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16.

Решение:

Пусть длины дуг равны \(2x\), \(3x\) и \(7x\). Тогда длина всей окружности равна \(2x + 3x + 7x = 12x\).

Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, относятся как 2:3:7. Пусть эти углы равны \(2α\), \(3α\) и \(7α\). Сумма этих углов равна 360 градусов, то есть \(2α + 3α + 7α = 12α = 360^°\).

Отсюда \(α = 30^°\).

Углы равны: \(2α = 60^°\), \(3α = 90^°\), \(7α = 210^°\).

Меньшая сторона треугольника (равная 16) опирается на меньшую дугу, соответствующую центральному углу \(60^°\).

По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и стороной:

• \(a^2 = R^2 + R^2 - 2R · R · · · ·(60^°)\)
• \(16^2 = 2R^2 - 2R^2 · · ·(60^°)\)
• \(256 = 2R^2 - 2R^2 · · · · (1/2)\)
• \(256 = 2R^2 - R^2\)
• \(256 = R^2\)
• \(R = √256 = 16\)

Примечание: Сторона, опирающаяся на центральный угол 60 градусов, равноудалена от радиусов. Если угол равен 60 градусам, то треугольник равносторонний, следовательно, сторона равна радиусу.

Ответ: 16