232. Найдите все целочисленные решения уравнения: а) (x − y)(x + 2) = 5; б) xy − x + y² − y = 5; в) (2x − y)(x + 2y) = −3; г) 2x² + xy − y² = −3.

Для каждого пункта используем разложение на множители и перебираем целые пары множителей правой части.

1. а) Пусть u = x − y, v = x + 2. Тогда uv = 5, x = v − 2, y = x − u. Для пар множителей (1, 5), (5, 1), (−1, −5), (−5, −1) получаем (x, y) = (3, 2), (−1, −6), (−7, −6), (−3, 2).
2. б) Группируем слагаемые: xy − x + y² − y = (y − 1)(x + y) = 5. Перебор пар целых множителей 5 даёт (x, y) = (3, 2), (−5, 6), (−5, 0), (3, −4).
3. в) Обозначим A = 2x − y, B = x + 2y. Тогда AB = −3, причём x = (2A + B)/5 и y = (2B − A)/5. Перебор пар множителей −3 показывает, что целые значения x и y получаются только при (A, B) = (3, −1) и (−3, 1). Значит, (x, y) = (1, −1), (−1, 1).
4. г) Разложим левую часть: 2x² + xy − y² = (2x − y)(x + y). Обозначим A = 2x − y, B = x + y. Тогда AB = −3, x = (A + B)/3, y = (2B − A)/3. Для всех пар целых множителей −3 ни x, ни y одновременно не являются целыми. Следовательно, целочисленных решений нет.