233. При каких значениях a равно нулю значение дроби: а) (a³ − 9a)/(a² + a − 12); б) (a⁵ + 2a⁴)/(a³ + a + 10); в) (a⁵ − 4a⁴ + 4a³)/(a⁴ − 16)?

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(\dfrac{a^3-9a}{a^2+a-12}=\dfrac{a(a-3)(a+3)}{(a+4)(a-3)}\).

Числитель обращается в ноль при \(a=0\), \(a=3\) или \(a=-3\). При \(a=3\) знаменатель тоже равен нулю, поэтому это значение исключаем. При \(a=0\) и \(a=-3\) знаменатель не равен нулю.

б) Разложим на множители:

\(\dfrac{a^5+2a^4}{a^3+a+10}=\dfrac{a^4(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+5)}\).

Нули числителя: \(a=0\) и \(a=-2\). При \(a=-2\) знаменатель равен нулю, поэтому это значение не подходит. При \(a=0\) знаменатель равен 10.

в) Разложим на множители:

\(\dfrac{a^5-4a^4+4a^3}{a^4-16}=\dfrac{a^3(a-2)^2}{(a-2)(a+2)(a^2+4)}\).

Нули числителя: \(a=0\) и \(a=2\). При \(a=2\) знаменатель равен нулю, поэтому это значение исключаем. При \(a=0\) знаменатель не равен нулю.

Ответ: а) \(a=-3, 0\); б) \(a=0\); в) \(a=0\).