233. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой (указать расстояние от центра Земли), соединяющей их центры, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами? Радиус Земли 6400 км. Ответ дать в километрах

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения. Сила притяжения к Земле \( F_З \) и к Луне \( F_Л \) должна быть равна:

\( F_З = F_Л \)

\( G \frac{m M_З}{r^2} = G \frac{m M_Л}{(R - r)^2} \)

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( m \) — масса тела,
• \( M_З \) — масса Земли,
• \( M_Л \) — масса Луны,
• \( R \) — расстояние между центрами Земли и Луны,
• \( r \) — расстояние от центра Земли до точки, где силы равны.

Сократим \( G \) и \( m \) из обеих частей уравнения:

\( \frac{M_З}{r^2} = \frac{M_Л}{(R - r)^2} \)

Из условия задачи известно, что \( M_Л = \frac{M_З}{81} \). Подставим это в уравнение:

\( \frac{M_З}{r^2} = \frac{M_З/81}{(R - r)^2} \)

Сократим \( M_З \):

\( \frac{1}{r^2} = \frac{1}{81(R - r)^2} \)

\( 81(R - r)^2 = r^2 \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( 9(R - r) = r \)

\( 9R - 9r = r \)

\( 9R = 10r \)

\( r = \frac{9}{10}R \)

Теперь найдём расстояние \( R \). Из условия известно, что \( R = 60 \) земным радиусам, а радиус Земли \( R_{Земли} = 6400 \) км. Следовательно:

\( R = 60 \times 6400 \text{ км} = 384000 \text{ км} \)

Теперь найдём \( r \):

\( r = \frac{9}{10} \times 384000 \text{ км} = 9 \times 38400 \text{ км} = 345600 \text{ км} \)

Ответ: 345600 км.