234. Решите уравнение: а) $\frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0$; б) $\frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0$; в) $\frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0$; г) $\frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 234. Решите уравнение: а) $\frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0$; б) $\frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0$; в)…$ Фото задания

234. Решите уравнение: а) $\frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0$; б) $\frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0$; в) $\frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0$; г) $\frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0$.

Accepted Answer

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) Разложим числитель группировкой:

$5y^3-15y^2-2y+6=5y^2(y-3)-2(y-3)=(y-3)(5y^2-2)$.

Знаменатель $y^2-9=(y-3)(y+3)$, поэтому $y\ne3,-3$. Из числителя получаем $y=3$ или $5y^2-2=0$, то есть $y=\pm\sqrt{\frac25}$. Значение $y=3$ исключается из области допустимых значений.

Ответ: а) $y=\pm\sqrt{\frac25}$.

б) Разложим числитель группировкой:

$3y^3-12y^2-y+4=3y^2(y-4)-1(y-4)=(y-4)(3y^2-1)$.

Знаменатель $9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1)$, поэтому $3y^2-1=0$ недопустимо: оно обращает знаменатель в нуль. Остаётся $y-4=0$, и при $y=4$ знаменатель не равен нулю.

Ответ: б) $y=4$.

в) Разложим числитель группировкой:

$6x^3+48x^2-2x-16=6x^2(x+8)-2(x+8)=2(x+8)(3x^2-1)$.

Знаменатель $x^2-64=(x-8)(x+8)$, поэтому $x\ne8,-8$. Из числителя получаем $x=-8$ или $3x^2-1=0$. Значение $x=-8$ исключается; корни $x=\pm\frac1{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}$ допустимы.

Ответ: в) $x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$.

г) Разложим числитель группировкой:

$y^3-4y^2-6y+24=y^2(y-4)-6(y-4)=(y-4)(y^2-6)$.

Знаменатель $y^3-6y=y(y^2-6)$, поэтому $y\ne0$ и $y^2-6\ne0$. Нули числителя: $y=4$ и $y=\pm\sqrt6$. Последние два значения запрещены знаменателем, а $y=4$ допустимо.

Ответ: г) $y=4$.

234. Решите уравнение: а) \(\frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0\); б) \(\frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0\); в) \(\frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0\); г) \(\frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0\).

Ответ: