Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 236. С помощью графиков решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}xy=6,\\2x-3y=6;\end{cases}\) б)…Фото задания

Ответ:

а) Рассмотрим графики функций \(y=\dfrac{6}{x}\) и \(y=\dfrac{2x-6}{3}=\dfrac{2}{3}x-2\).

Абсциссы точек пересечения найдём из уравнения:

\(\dfrac{6}{x}=\dfrac{2}{3}x-2\).

Умножим на \(3x\):

\(18=2x^2-6x\),

\(x^2-3x-9=0\).

Отсюда:

\(x_{1,2}=\dfrac{3\pm3\sqrt5}{2}\).

Используя \(y=\dfrac{2}{3}x-2\), получаем:

  • при \(x=\dfrac{3+3\sqrt5}{2}\): \(y=\sqrt5-1\);
  • при \(x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2}\): \(y=-\sqrt5-1\).

б) Здесь нужно построить окружность с центром \(O(3;4)\) и радиусом \(2\), а также параболу \(y=x^2\).

Точки пересечения удовлетворяют уравнению:

\((x-3)^2+(x^2-4)^2=4\).

После раскрытия скобок:

\(x^4-7x^2-6x+21=0\).

По графику получаем два корня: \(x_1\approx1.60\) и \(x_2\approx2.43\). Так как \(y=x^2\), то:

  • при \(x_1\approx1.60\): \(y_1\approx2.57\);
  • при \(x_2\approx2.43\): \(y_2\approx5.92\).

Ответ: а) \(\left(\dfrac{3+3\sqrt5}{2};\sqrt5-1\right)\), \(\left(\dfrac{3-3\sqrt5}{2};-\sqrt5-1\right)\); б) примерно \((1.60;2.57)\) и \((2.43;5.92)\).