237. При каких значениях a: а) сумма дробей (a + 1)/(a − 2) и (a − 4)/(a + 1) равна дроби (3a + 3)/(a² − a − 2); б) разность дробей (3a − 5)/(a² − 1) и (6a − 5)/(a − a²) равна дроби (3a + 2)/(a² + a)?

а) Область допустимых значений: \(a \ne 2\), \(a \ne -1\).

Приведём сумму к общему знаменателю:

\[\frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1}=\frac{(a+1)^2+(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)}=\frac{2a^2-4a+9}{(a-2)(a+1)}.\]

Так как \(a^2-a-2=(a-2)(a+1)\), приравниваем числители:

\[2a^2-4a+9=3a+3,\qquad 2a^2-7a+6=0,\qquad (2a-3)(a-2)=0.\]

Получаются \(a=\frac32\) и \(a=2\). Значение \(a=2\) не входит в ОДЗ.

б) Область допустимых значений: \(a\ne -1,0,1\). Учтём, что \(a-a^2=-a(a-1)\):

\[\frac{3a-5}{a^2-1}-\frac{6a-5}{a-a^2}=\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)}+\frac{6a-5}{a(a-1)}=\frac{9a^2-4a-5}{a(a-1)(a+1)}.\]

Приравниваем выражение дроби к правой части и сокращаем общий множитель \(a(a+1)\), который не равен нулю по ОДЗ:

\[9a^2-4a-5=(3a+2)(a-1),\qquad 6a^2-3a-3=0,\qquad (2a-3)(a+1)=0.\]

Корни уравнения — \(a=\frac32\) и \(a=-1\). Значение \(a=-1\) не входит в ОДЗ.

Ответ: а) \(a=\frac32\); б) \(a=\frac32\).