Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 237. Решите графически систему уравнений: а) \(\begin{cases}x^2+y^2=16,\\x+y+2=0;\end{cases}\) б)…Фото задания

Ответ:

а) Построим окружность \(x^2+y^2=16\) с центром в начале координат и радиусом 4, а также прямую \(x+y+2=0\), то есть \(y=-x-2\). Точки их пересечения являются решениями системы.

  1. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: \(x^2+(-x-2)^2=16\).
  2. Раскроем скобки: \(2x^2+4x-12=0\), поэтому \(x^2+2x-6=0\).
  3. Найдём абсциссы точек пересечения: \(x=-1\pm\sqrt7\).
  4. По формуле \(y=-x-2\) получаем соответствующие значения \(y\).

Точки пересечения: \((-1+\sqrt7;\,-1-\sqrt7)\) и \((-1-\sqrt7;\,-1+\sqrt7)\).

б) Построим гиперболу \(xy=8\), то есть \(y=\frac{8}{x}\), и прямую \(x+y+3=0\), то есть \(y=-x-3\). Проверим, есть ли у них общие точки.

  1. Приравняем значения \(y\): \(\frac{8}{x}=-x-3\), где \(x\ne0\).
  2. Умножим на \(x\): \(8=-x^2-3x\), или \(x^2+3x+8=0\).
  3. Дискриминант равен \(D=3^2-4\cdot1\cdot8=-23<0\). Действительных корней нет, поэтому прямая и гипербола не пересекаются.

Ответ: а) \((-1+\sqrt7;\,-1-\sqrt7)\), \((-1-\sqrt7;\,-1+\sqrt7)\); б) решений нет.