238. Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению: 1) 3x + y² = 19; 2) x² = 20 − y²; 3) (x − 2y)(y + 2x) = 12.

1) Так как y² < 19, перебираем натуральные y, для которых 19 − y² делится на 3, а частное положительно.

y = 1: 3x = 18, значит, x = 6.

y = 2: 3x = 15, значит, x = 5.

При y = 3 получаем 3x = 10, что невозможно для натурального x. При больших y правая часть 19 − y² неположительна.

Ответ: (6; 1), (5; 2).

2) Перепишем уравнение: x² + y² = 20. Перебираем натуральные y при условии y² < 20.

При y = 1, 2, 3, 4 значения 20 − y² равны соответственно 19, 16, 11, 4. Квадратами натуральных чисел являются 16 и 4, поэтому получаем пары (4; 2) и (2; 4).

Ответ: (4; 2), (2; 4).

3) Для натуральных x, y выражение x − 2y — целое число, а y + 2x — положительное целое число. Их произведение равно 12, поэтому возможны положительные делители второго множителя, не превосходящие 12. Обозначим a = x − 2y, b = y + 2x; тогда ab = 12. Из системы получаем x = (2b + a)/5, y = (b − 2a)/5.

Поскольку ab = 12 > 0, числа a и b одного знака. Если оба отрицательны, то y = (b − 2a)/5 < 0 невозможно. Значит, оба положительны. Перебираем делители: (a,b) = (1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1). Подстановка в формулы оставляет только (a,b) = (2,6): тогда x = 2, y = 1. Проверка: (2 − 2)(1 + 4) = 0, а не 12; следовательно, эта пара не подходит. Ни одна пара делителей не даёт натуральные x,y и равенство.

Ответ: решений в натуральных числах нет.