238. Найдите корни уравнения: а) 1/(x − 7) − 1/(x − 1) = 1/(x − 10) − 1/(x − 9); б) 1/(x + 3) − 1/(x + 9) = 1/(x + 5) − 1/(x + 21).

а) ОДЗ: \(x\ne7,1,10,9\).

Сведём разности дробей:

\[\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-1}=\frac{-6}{(x-7)(x-1)},\qquad \frac{1}{x-10}-\frac{1}{x-9}=\frac{1}{(x-10)(x-9)}.\]

Перемножаем крест-накрест, что допустимо на ОДЗ:

\[-6(x-10)(x-9)=(x-7)(x-1),\qquad 7x^2-106x+547=0.\]

Дискриминант отрицателен: \(D=106^2-4\cdot7\cdot547=-4080<0\). Поэтому действительных корней нет.

б) ОДЗ: \(x\ne-3,-9,-5,-21\).

\[\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+9}=\frac{6}{(x+3)(x+9)},\qquad \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+21}=\frac{16}{(x+5)(x+21)}.\]

Перемножаем крест-накрест и решаем квадратное уравнение:

\[6(x+5)(x+21)=16(x+3)(x+9),\qquad 5x^2+18x-99=0.\]

\[D=18^2-4\cdot5\cdot(-99)=2304,\qquad x=\frac{-18\pm48}{10}.\]

Получаем \(x=3\) и \(x=-\frac{33}{5}\); оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: а) действительных корней нет; б) \(x=3\), \(x=-\frac{33}{5}\).