24.3. Упростите выражение: а) $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$; б) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha$; в) $\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$; г) $\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24.3. Упростите выражение: а) $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Раскроем синус суммы: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
Тогда $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta$.
По формуле синуса суммы и значениям $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$:
$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.
Раскроем косинус суммы: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
Следовательно, $\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta$.
Раскроем косинус суммы, используя $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.

24.3. Упростите выражение: а) \(\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta\); б) \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha\); в) \(\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)\); г) \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\).