24. а) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите угол MBC. Ответ дайте в градусах. б) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. в) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите больший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника через \(\alpha\) и \(\gamma\). Тогда \(\alpha+\gamma=90^\circ\). Биссектриса делит прямой угол пополам, поэтому образует с каждой стороной угол \(45^\circ\). Высота из вершины прямого угла образует с катетом угол, равный одному из острых углов треугольника.

а) По рисунку высота расположена со стороны катета \(BC\) относительно биссектрисы, поэтому \(\angle MBC<45^\circ\). Угол между высотой и биссектрисой равен \(14^\circ\), значит \(\angle MBC=45^\circ-14^\circ=31^\circ\).

б) Острые углы отличаются от \(45^\circ\) на \(14^\circ\), поэтому они равны \(45^\circ-14^\circ=31^\circ\) и \(45^\circ+14^\circ=59^\circ\). Меньший угол равен \(31^\circ\).

в) Острые углы отличаются от \(45^\circ\) на \(20^\circ\), поэтому они равны \(25^\circ\) и \(65^\circ\). Больший угол равен \(65^\circ\).

Ответ: а) 31°; б) 31°; в) 65°.