24. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках Q и R соответственно. Докажите, что отрезки CQ и AR равны.

Доказательство:

Дано: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Прямая QR проходит через O и пересекает BC в точке Q и AD в точке R.

Доказать: CQ = AR.

Доказательство:

1. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOR \) и \( \triangle COQ \).
3. Углы \( \triangle AOR \) и \( \triangle COQ \) равны как вертикальные: \( \text{ } ∠ AOR = ∠ COQ \).
4. Углы \( \text{ } ∠ RAO \) и \( \text{ } ∠ QCO \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. \( \text{ } ∠ RAO = ∠ QCO \).
5. Углы \( \text{ } ∠ ARO \) и \( \text{ } ∠ CQO \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. \( \text{ } ∠ ARO = ∠ CQO \).
6. Мы имеем равенство углов и равенство сторон, прилежащих к ним: \( AO = OC \).
7. Следовательно, треугольники \( \triangle AOR \) и \( \triangle COQ \) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) или по третьему признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам, если учитывать, что \( ∠ ARO = ∠ CQO \) и \( ∠ RAO = ∠ QCO \), а \( AO=OC \)).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AR = CQ \).

Что и требовалось доказать.