24. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, получится правильный шестиугольник.

Решение:

Пусть дан правильный шестиугольник \( ABCDEF \) с центром \( O \) и стороной \( a \). Пусть \( M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6 \) — середины сторон \( AB, BC, CD, DE, EF, FA \) соответственно.

Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB, \triangle OBC, \dots, \triangle OFA \). Они равны по трём сторонам ( \( OA=OB=\dots=OF=R \) — радиус описанной окружности, \( AB=BC=\dots=FA=a \)). Углы при центре \( \angle AOB = \angle BOC = \dots = \angle FOA = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} \).

Поскольку \( \triangle OAB \) равнобедренный с углом \( 60^{\circ} \) при вершине, он является равносторонним. Аналогично, все треугольники \( \triangle OAB, \triangle OBC, \dots \) — равносторонние, и \( OA = OB = AB = a \). Таким образом, радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника \( R = a \).

Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие середины сторон: \( M_1M_2, M_2M_3, …, M_6M_1 \). Эти отрезки образуют новый шестиугольник \( M_1M_2M_3M_4M_5M_6 \).

Рассмотрим \( \triangle ABM_2 \). \( M_1 \) — середина \( AB \), \( M_2 \) — середина \( BC \). Отрезок \( M_1M_2 \) является средней линией в \( \triangle ABC \). По теореме о средней линии, \( M_1M_2 \parallel AC \) и \( M_1M_2 = \frac{1}{2} AC \).

Однако, для доказательства правильности нового шестиугольника проще использовать симметрию или рассмотреть, например, \( \triangle M_1BM_2 \). \( BM_1 = BM_2 = \frac{a}{2} \) (половина стороны исходного шестиугольника). \( \angle B = 120^{\circ} \) (внутренний угол правильного шестиугольника).

По теореме косинусов в \( \triangle M_1BM_2 \):

\( M_1M_2^2 = BM_1^2 + BM_2^2 - 2 BM_1 BM_2 \cos(120^{\circ}) \)

\( M_1M_2^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( M_1M_2^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \)

\( M_1M_2 = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Так как все стороны исходного шестиугольника равны \( a \) и все углы равны \( 120^{\circ} \), то по симметрии все стороны нового шестиугольника \( M_1M_2, M_2M_3, …, M_6M_1 \) будут равны \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Теперь докажем, что все углы нового шестиугольника равны. Рассмотрим, например, \( \angle M_1M_2M_3 \).

\( \angle BM_2M_1 = \angle CM_2M_3 \) (по симметрии, так как \( \triangle M_1BM_2 \) и \( \triangle M_3CM_2 \) равны).

В \( \triangle M_1BM_2 \), \( BM_1 = BM_2 = \frac{a}{2} \), \( \angle B = 120^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BM_2M_1 = \angle BM_1M_2 = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC = 120^{\circ} \). \( \angle M_1BC = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол, если считать точки на прямой). Но \( B, C \) — вершины, \( AB, BC \) — стороны. \( \angle ABC = 120^{\circ} \).

Угол \( \angle BM_2C \) не является углом шестиугольника.

Рассмотрим углы около точки \( M_2 \) на стороне \( BC \). \( \angle BM_2M_1 = 30^{\circ} \).

В \( \triangle M_2CM_3 \), \( CM_2 = CM_3 = \frac{a}{2} \), \( \angle C = 120^{\circ} \). Следовательно, \( \angle CM_2M_3 = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle BM_2C \) — это угол, лежащий на прямой \( BC \), если бы \( M_1, M_2, M_3 \) лежали на одной прямой, что не так.

Угол \( \angle BM_2C \) не является углом.

Рассмотрим прямую \( BC \). \( \angle BM_2M_1 = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle CM_2M_3 = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle BCM_2 \) не относится к \( ∫ CM_2M_3 \).

Углы \( \angle BM_2M_1 = 30^{\circ} \) и \( \angle CM_2M_3 = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle M_1M_2M_3 \) является внутренним углом нового шестиугольника.

Угол \( \angle BM_2C \) не является углом.

Угол \( \angle ABC = 120^{\circ} \).

Углы \( \angle BM_2M_1 = 30^{\circ} \) и \( \angle CM_2M_3 = 30^{\circ} \).

Сумма углов вокруг точки \( M_2 \) на прямой \( BC \) составляет \( 180^{\circ} \).

\( \angle M_1M_2M_3 = 180^{\circ} - \angle BM_2M_1 - \angle CM_2M_3 = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

Таким образом, все стороны нового шестиугольника равны \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \), и все его углы равны \( 120^{\circ} \). Следовательно, шестиугольник \( M_1M_2M_3M_4M_5M_6 \) является правильным.

Доказано.