24. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Решение:

Представим себе правильный восьмиугольник. У него 8 равных сторон и 8 равных внутренних углов. Все вершины лежат на одной окружности.

Когда мы соединяем вершины через одну, мы выбираем каждую вторую вершину. Обозначим вершины восьмиугольника как
V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, V8
.

Если мы начнем с
V1
и будем соединять через одну, мы получим отрезки:

• 
  V1
  →
  V3
  
• 
  V3
  →
  V5
  
• 
  V5
  →
  V7
  
• 
  V7
  →
  V1
  

Эти отрезки образуют четырехугольник
V1V3V5V7
. Нам нужно доказать, что это квадрат.

1. Равенство сторон:

Рассмотрим треугольники, образованные соседними выбранными вершинами и центром окружности, на которой лежат вершины восьмиугольника. Например, △OV1V3, где O - центр окружности.

Центральный угол правильного восьмиугольника равен
360° / 8 = 45°
. Следовательно, ∠V1OV3 = 2 × 45° = 90°.

Аналогично, ∠V3OV5 = 90°, ∠V5OV7 = 90°, ∠V7OV1 = 90°.

Треугольники △OV1V3, △OV3V5, △OV5V7, △OV7V1 равнобедренные (так как OV1=OV3=OV5=OV7 - радиусы окружности) и имеют равные углы при вершине O (90°).

По теореме косинусов или просто по равенству боковых сторон и углу между ними, стороны
V1V3
,
V3V5
,
V5V7
,
V7V1
равны.

2. Прямые углы:

Рассмотрим углы четырехугольника
V1V3V5V7
. Например, угол ∠V7V1V3.

Угол ∠V1OV3 = 90°. Треугольник △OV1V3 равнобедренный, значит, углы при основании равны: ∠OV1V3 = ∠OV3V1 = (180° - 90°)/2 = 45°.

Теперь рассмотрим угол ∠V7V1V3. Он состоит из углов ∠V7V1O и ∠OV1V3.

Аналогично, ∠V7V1O = 45° (из треугольника △OV7V1).

Следовательно, ∠V7V1V3 = ∠V7V1O + ∠OV1V3 = 45° + 45° = 90°.

Все углы получившегося четырехугольника равны 90°.

Вывод:

Так как четырехугольник
V1V3V5V7
имеет равные стороны и все прямые углы, он является квадратом.

Доказано.