24. Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Пусть стороны треугольника с общей вершиной A — AB и AC, причём AB < AC. Медиана AM делит сторону BC пополам, поэтому BM = MC.

1. Треугольники ABM и ACM имеют равные основания BM и MC и общую высоту, опущенную из A. Поэтому их площади равны.
2. Обозначим α = ∠BAM, β = ∠MAC. Выражая площади через две стороны и угол между ними, получаем: \(AB\cdot AM\cdot\sin\alpha=AC\cdot AM\cdot\sin\beta\), откуда \(AB\sin\alpha=AC\sin\beta\).
3. Так как AB < AC, из равенства следует \(\sin\alpha>\sin\beta\). При этом \(\alpha+\beta=\angle BAC<180^\circ\), поэтому \(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\). Первый множитель положителен, следовательно, α > β.

Ответ: медиана AM образует с меньшей стороной AB больший угол, чем с большей стороной AC.