24. \(\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{5x^2+x+3}\right)\cdot\left(\frac{25x^3+12}{10x^2+30x}+1\right)\times\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{5x^2+x+3}\right)^{-1}:\frac{(6+5x^2)^2}{5x^4-45x^2}\)

Question

Вопрос:

Фото задания

24. \(\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{5x^2+x+3}\right)\cdot\left(\frac{25x^3+12}{10x^2+30x}+1\right)\times\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{5x^2+x+3}\right)^{-1}:\frac{(6+5x^2)^2}{5x^4-45x^2}\)

Accepted Answer

Обозначим \(5x^2+x+3\) через \(Q\).

Первая скобка:

\[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{Q}=\frac{Q-(x-3)}{(x-3)Q}=\frac{5x^2}{(x-3)Q}.\]

Скобка со степенью \(-1\):

\[\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{Q}\right)^{-1}=\left(\frac{Q+x-3}{(x-3)Q}\right)^{-1}=\frac{(x-3)Q}{x(5x+2)}.\]

Вторая скобка:

\[\frac{25x^3+12}{10x^2+30x}+1=\frac{25x^3+12+10x^2+30x}{10x(x+3)}.\]

Числитель раскладывается на множители:

\[25x^3+10x^2+30x+12=(5x+2)(5x^2+6).\]

Поэтому

\[\frac{25x^3+12}{10x^2+30x}+1=\frac{(5x+2)(5x^2+6)}{10x(x+3)}.\]

Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь:

\[\frac{5x^4-45x^2}{(6+5x^2)^2}=\frac{5x^2(x-3)(x+3)}{(5x^2+6)^2}.\]

Перемножим и сократим:

\[\frac{5x^2}{(x-3)Q}\cdot\frac{(5x+2)(5x^2+6)}{10x(x+3)}\cdot\frac{(x-3)Q}{x(5x+2)}\cdot\frac{5x^2(x-3)(x+3)}{(5x^2+6)^2}=\frac{5x^2(x-3)}{2(5x^2+6)}.\]

Ответ: \(\frac{5x^2(x-3)}{2(5x^2+6)}\).