24. На окружности ω взяты такие точки А, В и С, что отношение градусных мер дуг, соответственных сторонам АВ, ВС и СА треугольника АВС, равно: a) 5:9:4; б) 3:10:5; в) 7:6:11. Найдите углы треугольника АВС в каждом из этих случаев.

Решение:

Сумма частей в каждом случае равна:

• а) 5 + 9 + 4 = 18
• б) 3 + 10 + 5 = 18
• в) 7 + 6 + 11 = 24

Дуга, соответствующая стороне, равна полной окружности (360°) умноженной на отношение части к сумме частей.

Случай а)

• Дуга AB = 360° * (5/18) = 100°
• Дуга BC = 360° * (9/18) = 180°
• Дуга CA = 360° * (4/18) = 80°

Углы треугольника:

• Угол C = 1/2 * Дуга AB = 1/2 * 100° = 50°
• Угол A = 1/2 * Дуга BC = 1/2 * 180° = 90°
• Угол B = 1/2 * Дуга CA = 1/2 * 80° = 40°
• Проверка: 50° + 90° + 40° = 180°

Случай б)

• Дуга AB = 360° * (3/18) = 60°
• Дуга BC = 360° * (10/18) = 200°
• Дуга CA = 360° * (5/18) = 100°

Углы треугольника:

• Угол C = 1/2 * Дуга AB = 1/2 * 60° = 30°
• Угол A = 1/2 * Дуга BC = 1/2 * 200° = 100°
• Угол B = 1/2 * Дуга CA = 1/2 * 100° = 50°
• Проверка: 30° + 100° + 50° = 180°

Случай в)

• Дуга AB = 360° * (7/24) = 105°
• Дуга BC = 360° * (6/24) = 90°
• Дуга CA = 360° * (11/24) = 165°

Углы треугольника:

• Угол C = 1/2 * Дуга AB = 1/2 * 105° = 52.5°
• Угол A = 1/2 * Дуга BC = 1/2 * 90° = 45°
• Угол B = 1/2 * Дуга CA = 1/2 * 165° = 82.5°
• Проверка: 52.5° + 45° + 82.5° = 180°

Финальные ответы:

a) Углы треугольника равны 90°, 40°, 50°.

б) Углы треугольника равны 100°, 50°, 30°.

в) Углы треугольника равны 45°, 82.5°, 52.5°.