24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть \( ABCD \) — трапеция с основаниями \( AD \) и \( BC \). \( MN \) — средняя линия трапеции, где \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( CD \). По свойству средней линии, \( MN = \frac{AD + BC}{2} \). Пусть \( h \) — высота трапеции. Тогда высота каждого из треугольников \( \triangle AKD \) и \( \triangle BKC \), проведенная из точки \( K \) к основаниям \( AD \) и \( BC \) соответственно, будет составлять половину высоты трапеции, то есть \( \frac{h}{2} \), так как \( K \) лежит на средней линии.

Площадь \( \triangle AKD \):

\[ S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} AD \cdot h \]

Площадь \( \triangle BKC \):

\[ S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} BC \cdot h \]

Сумма площадей этих треугольников:

\[ S_{AKD} + S_{BKC} = \frac{1}{4} AD \cdot h + \frac{1}{4} BC \cdot h = \frac{1}{4} (AD + BC) \cdot h \]

Площадь трапеции \( ABCD \) равна:

\[ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \]

Сравнивая сумму площадей \( \triangle AKD \) и \( \triangle BKC \) с площадью трапеции:

\[ S_{AKD} + S_{BKC} = \frac{1}{4} (AD + BC) \cdot h = \frac{1}{2} \left( \frac{AD + BC}{2} \cdot h \right) = \frac{1}{2} S_{ABCD} \]

Таким образом, сумма площадей треугольников \( AKD \) и \( BKC \) равна половине площади трапеции \( ABCD \).

Что и требовалось доказать.