24 На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку R. Докажите, что сумма площадей треугольников BRC и ARD равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. MN — средняя линия трапеции. Пусть R — произвольная точка на средней линии MN.

Пусть высота трапеции равна h, а основания AD = a и BC = b.

Площадь трапеции S_ABCD = \( \frac{a + b}{2} \cdot h \).

Средняя линия MN = \( \frac{a + b}{2} \).

Пусть точка R делит среднюю линию MN в отношении MR : RN = k : (1-k), где k — некоторая доля.

Высота треугольника BRC, опущенная из R на BC, равна некоторой величине h₁. Высота треугольника ARD, опущенная из R на AD, равна h₂.

Так как R лежит на средней линии, то сумма высот h₁ + h₂ = h (высота трапеции).

Площадь треугольника BRC: S_BRC = \( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 \).

Площадь треугольника ARD: S_ARD = \( \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 \).

Сумма площадей: S_BRC + S_ARD = \( \frac{1}{2} b h_1 + \frac{1}{2} a h_2 \).

Рассмотрим случай, когда R — середина средней линии. Тогда h₁ = h₂ = h/2.

S_BRC = \( \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} \).

S_ARD = \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \).

S_BRC + S_ARD = \( \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a+b)h}{4} \).

Площадь трапеции S_ABCD = \( \frac{(a+b)h}{2} \).

\( \frac{(a+b)h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a+b)h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Таким образом, сумма площадей равна половине площади трапеции.

Доказано.